Probar: $B=\{x\in \Bbb R\mid x^2\in\Bbb Q\}$ es contable

Question

Demostrar: El conjunto de $B=\{x\in \Bbb R\mid x^2\in\Bbb Q\}$ es contable

Tengo la idea pero no estoy seguro si es correcto:

Sabemos que $\Bbb Q$ es contable, por lo que podemos enumerar $\Bbb Q$ $\Bbb Q= \{ q_1,q_2,q_3,\ldots,q_n \mid n \in \Bbb N\}$ en la otra mano $x^2=a$ tiene soluciones finitas ($0$, $1$, o $2$)

Que $A_i= \{x\mid x^2= q_i, q_i \in \Bbb Q, i \in \Bbb N\}$ siguiendo el orden de $\Bbb Q$.

Que $S= \bigcup_{i=1}^\infty A_i $ S y es una Unión contable de sistemas contables. Por lo tanto S es contable

Answer 1

Enumerar los miembros de $\mathbb Q$, así: $q_1,q_2,q_3,\ldots\,{}$.

Lista de las soluciones de $x^2 = q_1$ (o $0$, $1$, o $2$ como $q_1$ es negativo, $0$ o positivo), luego los de $x^2=q_2$, luego los de $x^2=q_3$ y así sucesivamente. Le da una enumeración de $\{x\in\mathbb R\mid x^2\in\mathbb Q\}$.

Answer 2

Utilice el hecho de que hay solamente contable número de ecuaciones $qx^2-p=0$ y cada uno tiene sólo el número finito de soluciones. Tan total número de soluciones no es más que una Unión contable de finito que es contable.

Otra explicación es que el $B$ es el subconjunto de los números algebraicos. Puesto que todos los números algébricos es contable, $B$ es contable.

Answer 3

De hecho, podemos utilizar el hecho de que $\Bbb Q$ es contable. Considerar la función $f:\Bbb Q\to\Bbb R$ dado por el $$f(x)=\begin{cases}\sqrt x & x\ge0\\-\sqrt{-x} & x<0.\end{cases}$$ This can be shown to be one-to-one without too much difficulty, and its range is precisely $B %, $, así que hemos terminado.