Encontrar una forma cerrada para $(a_n)$ tal que $a_{n+2} = a_{n+1}a_n/(6a_n - 9a_{n+1})$

Question

$$a_1 = 1; a_2 = 9; a_{n+2} = \frac{a_{n+1}a_n}{6a_n - 9a_{n+1}}$$

Necesito encontrar la fórmula no-recurrentes para $a_n$. ¿Hay alguna buena forma de hacer esto? Sólo viene a la mente es adivinar la fórmula y luego probarlo mediante inducción matemática.

¡Gracias de antemano!

Tengo el resultado y se parece a esto: $a_n = \frac{-3*2^{n-1} + 2^{2n - 1} + 1}{3}$ pero realmente no les gusta así y me encantaría saber cómo solucionar esto correctamente.

Answer 1

Sugerencia: Que $b_n=\frac1{a_n}$. $b_1=1$, $b_2=\frac19$ Y $b_{n+2}=6b_{n+1}-9b_n$ cada $n\geqslant1$. Esta recursividad afín de orden $2$ tiene una raíz doble en $__$ por lo tanto $b_n=$ $(An+B)\cdot$ $__$ ${}^n$ para cada $n$. Identificación de %#% produce finalmente #% y $A$ $B$ $a_n=$ cada $______$.

Answer 2

Como Hizo en la respuesta, pero más sencillo de manejar: $$b_{n + 2} = 6 b_{n + 1} - 9 b_n \qquad b_1 = 1, b_2 = 1/9$$ Definir $B(z) = \sum_{n \ge 0} b_{n + 1} z^n$. Por las propiedades de las funciones de generación: $$\frac{B(z) - b_1 - b_2 z}{z^2} = 6 \frac{B(z) - b_1}{z} - 9 B(z)$$ A partir de aquí: $$B(z) = \frac{9 - 53 z}{9 - 54 z + 81 z^2} = \frac{53}{27} \frac{1}{1 - 3 z} - \frac{26}{27} \frac{1}{(1 - 3 z)^2}$$ Por la expansión (una forma del teorema del binomio): $$(1 - u)^{m} = \sum_{n \ge 0} \binom{n + m - 1}{m - 1} z^n$$ obtenemos: $$b_{n + 1} = \frac{53}{27} 3^n - \frac{26}{27} \binom{n + 1}{1} 3^n = (27 - 26 n) \cdot 3^{n - 3}$$ así que, finalmente: $$a_n = \frac{1}{(53 - 26 n) \cdot 3^{n - 4}}$$