En la Relatividad General de Einstein ecuación implica que la tensión tensor de energía en su CARTA se conserva (ha de fuga divergencia), debido a la identidad de Bianchi. Teniendo en cuenta principios variacionales que conduce a la ecuación de Einstein lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es igual a la variacional derivado de la acción con respecto a la métrica del tensor. Sin embargo, en varias ocasiones he escuchado a personas que indica que en términos generales se puede definir el tensor de tensiones para una teoría del campo en este camino, y es automáticamente conservadas. En el plano espacio-tiempo y sin ningún tipo de acoplamiento a la gravedad! Me pregunto si esto es cierto. No veo una razón por la que debería ser.
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En realidad, la métrica variacional definición de la tensión tensor de energía (debido a Hilbert, como señaló Qmechanic) es un universal de la mejora del procedimiento para la canónica de estrés-tensor de energía (y por lo tanto no siempre concides con el último), en un sentido que será precisa a continuación. Este procedimiento es necesario porque la canónica de estrés-tensor de energía, aunque siempre se conserva, a menudo no logra satisfacer otros requisitos físicos como la invariancia gauge (ya que es un observable cantidad), simetría (es necesario si queremos ser una fuente para el campo gravitatorio) y tracelessness (localmente escala invariante teorías). Por ejemplo, los tres requisitos fallar por pura electrodinámica en cuatro dimensiones espacio-temporales..
Incluso si se trata de una teoría de campo en el espacio de Minkowski, es, inevitablemente, junto a la de la gravedad, simplemente por el hecho de que el Lagrangiano depende del tiempo-espacio métrico (aquí tomando el valor determinado de la métrica de Minkowski). La dinámica particular de la métrica es irrelevante - todo lo que necesitamos es que no hay ningún otro "externo" campos además de la métrica y de que el campo de acción funcional es diffeomorphism invariante.
Deje $L=L(\phi,g)$ ser un local de campo de Lagrange en el espacio-tiempo $(M,g)$, y $$S_K[\phi,g]=\int_K L(\phi,g)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad K\subset M\text{ any bounded region}$$ the corresponding (family of) action functional(s indexed by $K$ as above). We allow $L$ to have finite but otherwise arbitrary order dependence on $\phi$ and $g$, and no explicit space-time dependence since we want it not to depend on any other fields. The infinitesimal variation of $S_K$ with respect to a vector field $X$ on $M$ (i.e. an infinitesimal diffeomorphism) is then given by $$\delta_X S_K[\phi,g]=\int_K\left(\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta_X g_{\mu\nu}+\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}\delta_X \phi^j+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)\right)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad X_\rho=g_{\rho\sigma}X^\sigma\ ,$$ where $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$ and $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}$ are respectively the Euler-Lagrange (i.e. variational) derivatives of $L(\phi,g)$ with respect to $g$ and $\phi$, $\nabla$ is the Levi-Civita covariant derivative associated to $g$, $T^{\mu\nu}$ is the (canonical or improved) stress-energy tensor, $$\delta_X g_{\mu\nu}=\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu$$ is the Lie derivative of $g$ along $X$ and the infinitesimal field variation $\delta_X\phi^j$ depends on the particular way we lift $X$ to a projectable vector field on the total space of the fiber bundle over $M$ where the fields $\phi^j$ live (for instance, if they are all scalar fields, we simply have $\delta_X\phi^j=-X\phi^j=-X^\mu\nabla_\mu\phi^j$).
Hay un implícito pero el requisito fundamental sobre el total admisible de mejoras para $T^{\mu\nu}$ - a saber, la mejora de Noether actual $j^\mu(L,X)=T^{\mu\nu}X_\nu$ asociado con la simetría $X$ de la acción funcional no sólo debe ser lineal en $X$, sino que dependen sólo de los valores de punto de $X$ (a esto le llamamos propiedad ultralocality) - por lo tanto, escribimos esto ya como un tensor de contracción. Este requisito también afecta en cierta medida a la definición de $\delta_X\phi^j$, pero los detalles de este no son importantes en lo que sigue. ¿Por qué insistimos en que este requisito? Como veremos a continuación, ultralocality señala una única mejora receta para $T^{\mu\nu}$ que además satisface todas físico desiderata. Esta idea se aplica más generalmente, cualquier local de la simetría, por ejemplo, puede ser utilizado para mejorar la canónica de Noether actual locales asociados con el medidor de simetrías.
Diffeomorphism la invariancia de la acción funcional que significa que requieren que el $\delta_X S_K[\phi,g]=0$ para todos los $X,\phi,g,K$. Si, además, los campos $\phi^j$ satisfacer las Euler-Lagrange las ecuaciones de movimiento, tenemos que $$2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=\left(2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}+T^{\mu\nu}\right)\nabla_\mu X_\nu+X_\nu\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\ .$$ The first identity seems trivial but in fact follows from ultralocality of the improved Noether current, as explained above. Since $X$ is arbitrary and therefore we may specify $X\nu$ and $\nabla_\mu X_\nu$ independently at each point of $M$, se obtiene en un solo trazo:
El deseado variacional fórmula para la mejora de estrés-tensor de energía $$T^{\mu\nu}=-2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$$ and therefore the symmetry $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$;
Covariantes la ley de conservación de la $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$;
Si la métrica sucede a obedecer a una dinámica determinada por un Lagrangiano $L_G(g)$, $T^{\mu\nu}$ automáticamente se convierte en la fuente a la métrica de las ecuaciones de movimiento. Esto también garantiza el cumplimiento con el segundo teorema de Noether, como debe ser - de la canónica de Noether actual asociado a la total (es decir, la métrica + campo) de Lagrange y a $X$ todavía se desvanece en el shell si el total de la acción funcional es también diffeomorphism invariante.
Aunque no es trivial para mostrar, $T^{\mu\nu}$ también pasa a ser traceless si la teoría de campo de exposiciones de invariancia de escala local.
Si los campos $\phi^j$ son todos los escalares y $L(\phi,g)$ es un Lagrangiano de primer orden en $\phi$ con una de Klein-Gordon-como la cinética de la parte y no en función de los derivados de la $g$, $T^{\mu\nu}$ coincide con la canónica de estrés-tensor de energía. Este es ya el caso de spinor campos, cuya Lagrange generalmente depende también de la primera derivados de la métrica a través de la tirada de conexión, para campos escalares con los no-mínimo de curvatura de acoplamiento, o para el campo electromagnético.
El por encima de la comprensión de la métrica variacional definición de la tensión tensor de energía en plena generalidad vino sorprendentemente tarde - fue desarrollado por M. Falsificador y H. Römer ("Corrientes y la Energía-Impulso del Tensor de la Clásica Teoría de Campo: una nueva Mirada a un Viejo Problema". Ann.Phys. 309 (2004) 306-389, arXiv:hep-th/0307199), cuyo trabajo recomendamos para los (muchos) más detalles y ejemplos.
Stefano
Puntos
763
Bien, usted no puede tomar cualquier ol " asunto de la teoría en el plano espacio de Minkowski y el palo en una curva del tensor métrico $g_{\mu\nu}$ en la materia de la acción como la que te gusta, si eso es lo que estás insinuando. La advertencia es que el resultado de la cuestión de la acción $S_{\rm m}[\Phi, g]$ debe ser un general relativista diffeomorphism-invariantes funcionales. A continuación, la de Hilbert de tensión-energía-momentum (SEM) tensor se conserva, cf. por ejemplo, mi Phys.SE responde aquí y aquí.
