Intentar demostrar: $f:[0,1]\to\mathbb R$, para cada $c \in [0,1]$ límite $ \lim_{x\to c} f(x)$ existe, así que limita $f$.

Question

Que $f:[0,1]\to\mathbb R$ tales que para cada $c \in [0,1]$ límite $ \lim_{x\to c} f(x)$ existe (y finito). Demostrar que $f$ es limitado.

Mi intento:

Para cada $c \in [0,1]$ allí existe $\delta_c >0$ tales que para cada $x\in I_c=(c-\delta_c, c+\delta_c)$, $L_c-1<f(x)<L_c+1$. $K_c=\max \{|L_c+1|, |L_c-1|\}$ De la marca.

Lo intervalos abiertos $(c-\delta_c, c+\delta_c)$ cubierta $[0,1]$, y de Heine-Borel, finitamente muchos de ellos, $n$, son suficientes para cubrirla.

Tomar $M=\max \{K_1, K_2, \dots, K_n\}$, así cada $x \in [0,1]$, $|f(x)|<M.$

¿Esta prueba es correcta? ¿Es allí algo perdidas, o debería añadir?

Answer 1

Sólo una nota realmente, pero yo diría que para la contradicción es más fácil.

Supongamos que $f$ es ilimitada. Existe un % de la secuencia $x_n \in [0,1]$tal que $\forall n, f(x_n) \geq n$.

Por Teorema de Bolzano-Weierstrass, hay algunos subsequence de $(x_n)$di $x_{n_k}$ que converge a $c\in [0,1]$.

Desde $\forall k, f(x_{n_k})\geq n_k$ $f$ no puede tener un límite en $c$. Contradicción.

Answer 2

Sólo puedo ser:

"finito muchos de ellos, $n$, son suficientes para cubrirlas". Es cierto, pero usted debe definir qué $K_1$, $\ldots$, $K_n$ son. ¿Son unos $K_c$ (con $c\in[0,1]$)?

Así que diga algo como, "lo elegir $c_1,\ldots, c_n$ $[0,1]$ que #% el %#% y conjunto de $[0,1]\subset \bigcup\limits_{i=1}^n (c_i-\delta_{c_i}, c_i+\delta_{c_i})$...". (O "sea $M=\max\{K_{c_1},\ldots, K_{c_n}\}$ un límite superior de la $M$ correspondiente a un subcover finito".)

¡Pero, buena prueba!