¿Por qué es el volumen de un cono un tercio del volumen de un cilindro?

Question

El volumen de un cono con altura $h$ y radio $r$ es $\frac{1}{3} \pi r^2 h$, lo cual es exactamente un tercio del volumen del cilindro más pequeño en el que cabe.

Esto se puede demostrar fácilmente considerando un cono como un sólido de revolución, pero me gustaría saber si se puede demostrar o al menos visualizar sin usar cálculo.

Answer 1

Una demostración visual para el caso de una pirámide con base cuadrada. Como Grigory afirma, se puede utilizar el principio de Cavalieri para obtener la fórmula del volumen de un cono. Solo necesitamos que la base de la pirámide cuadrada tenga una longitud lateral de $ r\sqrt\pi$. Dicha pirámide tiene un volumen de $\frac13 \cdot h \cdot \pi \cdot r^2. $

Luego, el área de la base es claramente la misma. El área transversal a una distancia a desde el pico es una simple cuestión de triángulos similares: El radio de la sección transversal del cono será $a/h \times r$. La longitud lateral de la sección transversal de la pirámide cuadrada será $\frac ah \cdot r\sqrt\pi.$
Una vez más, vemos que las áreas deben ser iguales. Así que por el principio de Cavalieri, el cono y la pirámide cuadrada deben tener el mismo volumen: $\frac13\cdot h \cdot \pi \cdot r^2$

Answer 2

Uno puede cortar un cubo en 3 pirámides con bases cuadradas -- así que para tales pirámides el volumen es de hecho 1/3 hS. Y entonces uno utiliza el principio de Cavalieri para demostrar que el volumen de cualquier cono es 1/3 hS.

Answer 3

Es porque un triángulo en una caja que tiene la misma altura y longitud es 1/2 si el cuadrado porque está en la segunda dimensión, así que si te mueves a la tercera dimensión cambiará a 1/3 y así sucesivamente.

Answer 4

Logré encontrar el volumen de un cono sin cálculo usando una observación que hice.

Primero, coloqué un cono en un plano cartesiano, con la punta en el origen. Así, una ecuación para describir el radio (x) sería el radio sobre la altura por x. Luego, sustituí esta ecuación en pi r al cuadrado para obtener el área de la sección transversal como función de x.

Luego observé cómo el volumen del cono podría aproximarse utilizando discos, siendo el ancho de cada uno la altura del cono dividida por el número de discos. Entonces, el volumen como función de x sería el área como función de x multiplicada por la altura dividida por n, o el número de discos. Sin embargo, en lugar de utilizar la integración para sumar los volúmenes de todos los discos, observé que si me movía a lo largo de la altura en incrementos iguales al ancho de cada cilindro, los volúmenes de los cilindros aumentaban en una secuencia de cuadrados, el segundo disco siendo 4 veces el volumen del primero, el tercero siendo 9 veces, el cuarto siendo 16 veces, y así sucesivamente.

Para mí, esto demostró que el segundo disco puede descomponerse en 4 cilindros iguales al volumen del primer disco, el tercero en 9, el cuarto en 16, y así sucesivamente. Por lo tanto, el volumen de un cono es igual al volumen del primer disco multiplicado por la suma de todos los cilindros, que podemos obtener utilizando la fórmula de la suma de cuadrados. Así que obtuve el volumen del primer cilindro poniendo el ancho de un cilindro en la fórmula del volumen como función de x, lo que resultó en pi r al cuadrado veces la altura sobre n al cubo. Luego, multiplicé esto por la fórmula de la suma de cuadrados para obtener: pi*r^2*h*(n(n+1)(2n+1))/(6n^3) Luego, dejé que "n" tienda a infinito, lo que resultó en que el volumen de un cono sea (pi*r^2*h)/3.

Answer 5

Puedes usar el teorema del centroide de Pappus como en mi respuesta aquí, pero no ofrece mucha información.

En lugar de un cilindro y un cono, si consideras un cubo y una pirámide de base cuadrada donde el vértice "superior" de la pirámide (el opuesto a la base cuadrada) se desplaza para estar directamente sobre un vértice de la base, puedes encajar tres de esas pirámides juntas para formar el cubo completo. (He visto esto como un juguete/puzzle físico con tres piezas piramidales y un contenedor cúbico). Esto puede dar alguna idea sobre la regla del "objeto puntiagudo en un tercio" (para objetos puntiagudos con secciones transversales similares y linealmente relacionados) que Katie Banks discutió en su comentario.