Interesante ecuación funcional: $f(x)=\frac{x}{x+f\left(\frac{x}{x+f(x)}\right)}$

Question

Resolver para la función f(x):

$$f(x)=\frac{x}{x+f\left(\frac{x}{x+f(x)}\right)}$$ Yo no soy capaz de resolver esto.

[Por ejemplo, traté de solucionar $f(\frac{x}{x+f(x)})$, pero esto no me llevan a ninguna parte como el valor obtenido, cuando se sustituye en la ecuación original, sólo los rendimientos $f(x)=f(x)$]

Pregunta: ¿Cuál es el valor de f(x) = ?

Supongo que debo mencionar que f(x) debe ser continua, y que es un subconjunto de a $R$.

(Relacionado : Funcional de la ecuación de $f(x)=\frac{1}{1+f(\frac{1}{1+f(x)})}$ , cuya confirmado soluciones se $-\phi$$\frac{1}{\phi}$)

Answer 1

Si existe tal un $f$, tapando en $x=0$ encontramos que el $$f(0)=\frac{0}{0+f\left(\tfrac{0}{0+f(0)}\right)}=0,$ $ y para evitar tener que dividir por $0$ esto requiere que % $ $$0+f(0)\neq0\qquad\text{ and }\qquad0+f\left(\frac{0}{0+f(0)}\right)\neq0.$pero entonces $f(0)=0$ % que $0+f(0)=0$, una contradicción. Por lo tanto no hay tal $f$ existe.

Answer 2

tomar $g=\frac { x }{ (x+f) } $ (#) por diferenciar a los dos lados de este: $1=g+g'x+f'g+g'f$ $(*)$ sustituyendo $g=\frac { x }{ (x+f) } $ en la ecuación: $$\frac { x }{ g } -x=\frac { x }{ \left( x+f(g) \right) } $ $diferenciar a los dos lados de este y utilizando (*): $2x-gx=g-g^2$ encontrar g de esta ecuación cuadrática. Entonces, encontrar f (#)