MLE para la media de distribución desconocida simétrico pero lo contrario

Question

Dado yo.yo.d. dibuja $x_1,...,x_n$$X$, donde:

• $X$ tiene un número finito de decir $E[X]=\mu < \infty$,
• $X$ es simétrica alrededor de su media, lo que significa $f_X(\mu+c)=f_X(\mu-c)$ todos los $c$,
• La función de densidad de probabilidad $f_X$ es que no se conoce.

Es posible demostrar la siguiente?

La proposición. El MLE para la media de $X$ es la media de la muestra, $\hat \mu_{MLE}=\bar x = \sum_{i=1}^n x_i$.

Una prueba o un contraejemplo sería genial. Estoy dispuesto a que además de asumir que el $X$ tiene una varianza finita $Var[X]=\sigma^2 < \infty$ u otras comunes supuestos básicos, si es necesario para la proposición de celebrar, o si se simplifica en gran medida la prueba.

Sospecho que puede ser posible el uso de la invariancia de la MLE a las transformaciones de los datos para probar esto, pero podría seguir desde el más simple de los hechos acerca de la media de la muestra.

Answer 1

Considere el único parámetro Exponencial de la Familia de distribuciones, es decir, las distribuciones cuya densidad de probabilidad (o masa) de la función se puede escribir como

$$f(x) = h(x)\cdot \exp{\big\{\eta(\theta)T(x)-A(\theta)\big\}}$$

El logaritmo de la probabilidad de un yo.yo.d ejemplo de tamaño de $n$ es entonces

$$\tilde L = \sum_{i=1}^n\ln h(x_i) + \eta(\theta)\sum_{i=1}^nT(x_i) - nA(\theta)$$

y la derivada con respecto al $\theta$ es

$$\frac {\partial \tilde L}{\partial \theta}=\eta'(\theta)\sum_{i=1}^nT(x_i)-nA'(\theta) = 0$$

$$\Rightarrow \frac 1n \sum_{i=1}^nT(x_i) = \frac {A'(\hat \theta_{MLE})}{\eta'(\hat \theta_{MLE})}$$

es obvio a partir de lo anterior que, para llegar a "la media de la muestra es el MLE para la media", las funciones deben tener las formas adecuadas.

Ejemplos en los que el resultado tiene
1) Para la distribución Normal (con varianza conocida $\sigma^2$) : $T(x_i) = x_i/\sigma$, $A(\theta)=\mu^2 / 2\sigma^2 \Rightarrow A'(\theta) = \mu / \sigma^2$, $\eta(\theta) = \mu/\sigma\Rightarrow \eta'(\theta) = 1/\sigma$

2) Para los Bernoulli(p) distribución, $T(x_i) = x_i$, $A(\theta) -\ln (1-p)\Rightarrow A'(\theta) = 1/(1-p) $, $\eta (\theta) = \ln(p/(1-p)\Rightarrow \eta'(\theta) = 1/p(1-p)$

En estos casos, de hecho, el MLE para la media es la media de la muestra. Tal vez es más fácil encontrar ejemplos de lo contrario, como Whuber insinuó.