Encontrar una secuencia tal que esta torre de exponente es convergente

Question

Contexto

• Ya sabemos que si tomamos una secuencia $(x_n)\in{\mathbb R_+^*}^{\mathbb N}$ tal que

$$x_n=O\left(\frac 1{n^2}\right)$$

entonces

$$\sum_{n=0}^\infty x_n <+\infty.$$

• Ahora también, que si tomamos, por ejemplo, para todos los $n\in \mathbb N^*$

$$x_n=1+\frac 1{n^2}$$

entonces

$$\prod_{n=0}^\infty x_n <+\infty.$$

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Podemos encontrar una secuencia $(x_n)\in(1,\infty)^{\mathbb N}$ tal que

$${{x_0}^{{x_1}^{{x_2}^{x_3}}}}^{\dots} = {{x_0}^{\left({x_1}^{\left({x_2}^{x_3^\cdots}\right)}\right)}}$$

es convergente?

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Creo que la respuesta es sí, si tomamos $(x_n)$ tal que $\lim_{n\to\infty} x_n=1$ $(x_n)$ converge a $1$ muy rápido. Pero no sé cómo exhibición de dicha secuencia.

Answer 1

El cojo respuesta es tener $x_0=1$ o $x_0=0,x_1>0$. A continuación, el resultado es trivial.

Si $x_n=x_0$ todos los $n$$x_0>0$, entonces converge iff $e^{-e}\le x_0\le e^{e^{-1}}$, que en realidad no requieren $\lim_{n\to\infty}x_n=1$. Estos se encuentran en la Wikipedia para tetration. Más información sobre la naturaleza exacta de la convergencia de $x_n\in\mathbb C$ se pueden encontrar aquí y aquí y aquí.

Desde aquí, usted puede demostrar que para cualquier secuencia con $e^{-e}\le x_0\le e^{e^{-1}}$ que es monótonamente acercarse a $1$ convergerán.