¿Cuál es la relación entre las distintas antiderivadas?

Question

Si una función $f(x)$ tiene diferentes formas de antiderivadas:

$\frac { d }{ dx } { F }_{ 1 }(x)=f(x)$

$\frac { d }{ dx } { F }_{ 2 }(x)=f(x)$

¿Cuál es la relación entre $F_1$ y $F_2$ es que ${F}_{1}(x)-{F}_{2}(x)=constant$ ¿correcto?

Por ejemplo, pregunta encontrar $\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-1 } = } $ ?

Método 1: $\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-1 } =\int { \frac { dx }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-1 } -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\frac { 1 }{ 4 } ln\left| \frac { x-1 }{ x+1 } \right| -\frac { 1 }{ 2 } arctan(x) } +c } } $

Método 2: $\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { d{ x }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-1 } =\frac { 1 }{ 2 } ln\left| \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right| +c } } $

Bien, ahora la pregunta es: ¿cuál es la relación entre $ln\left| \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right| $ y $\frac { 1 }{ 2 } ln\left| \frac { { x }-1 }{ { x }+1 } \right| -arctan(x)$ ?

¿Es correcta la ecuación siguiente y cómo demostrarlo?

$ln\left| \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right| =\frac { 1 }{ 2 } ln\left| \frac { { x }-1 }{ { x }+1 } \right| -arctan(x) +constant$

Answer 1

Su método 1 es correcto.

Tu método 2 no lo es:

$$\int\frac{dx}{x^4-1} \neq \frac12\int\frac{d(x^2)}{(x^2)^2-1}$$

Si va a sustituir por $x^2$ , $d(x^2) = 2x dx$ por lo que la igualdad sería

$$\int\frac{dx}{x^4-1} = \frac12\int\frac{du}{\sqrt{u}(u^2-1)}$$

que no te lleva a ninguna parte.

Pero tenía ambos métodos fueran correctos, sí, las dos antiderivadas diferirían en una constante.