¿Cuántas formas hay de escribir $675$ como diferencia de dos cuadrados?

Question

¿Cuántas formas hay de escribir el número $675$ como diferencia de dos cuadrados?

¿Hay alguna forma de generalizar esto?

Answer 1

Supongamos que tenemos que resolver $a^2-b^2 = n$ .

Escriba $n = pq$ donde $p$ y $q$ tienen la misma paridad ( $p \equiv q \mod 2$ ) y asumir $p \geq q$ .

Claramente:

$$\left(\dfrac{p+q}2\right)^2 - \left(\dfrac{p-q}2\right)^2 = pq = n$$ .

Ahora, demuestre que si $p$ y $q$ no tienen la misma paridad, entonces $a+b=p$ y $a-b=q$ no se puede resolver en números enteros.

---

Más información: En el caso de $675 = 25 \times 27 = pq$ queremos $p$ y $q$ para ser ambos Impares. Pero todos los divisores de $675$ son impar. $675$ tiene $12$ divisores (¿por qué?). ahora sólo la mitad de ellos tendrá $p \geq q$ . Así que $675$ puede escribirse como una diferencia de dos cuadrados en $6$ diferentes maneras.

Ahora vamos a enumerar explícitamente estos $6$ formas utilizando nuestra observación. Aviso: $$675= 675 \cdot 1 = 135 \cdot 5 = 27 \cdot 25 = 75 \cdot 9 = 225 \cdot 3 = 45 \cdot 15=p\cdot q.$$

Las soluciones correspondientes utilizando $a = \dfrac{p+q}2, b = \dfrac{p-q}2$ son:

$$675 = 338^2 - 337^2.$$ $$675 = 70^2 - 65^2.$$ $$675 = 26^2 - 1^2.$$ $$675 = 42^2 - 33^2.$$ $$675 = 114^2 - 111^2.$$ $$675 = 30^2 - 15^2.$$

Answer 2

675 es un número pequeño.

Así que podemos hacer trampa. Examinemos $(x+1)^2-x^2 \ge 675$ . Esto es lo mismo que $2x+1 \ge 675$ (expándalo y compruébelo), o $x \ge 337$ .

Esto significa que más allá de 338, los cuadrados adyacentes están separados por más de 675. Los cuadrados más alejados también estarán más alejados de 675. Por lo tanto, nuestra respuesta se encuentra en o por debajo de 338.

Simplemente comprueba la diferencia de cuadrados de cada par de números del 1 al 338 -- sólo hay 113 mil de ellos. Los que sean iguales a 675 son tus respuestas completas.

En esta fase, un ordenador puede ayudar.

enlace a un programa de este tipo

La salida:

26^2 - 1^2 = 675
30^2 - 15^2 = 675
42^2 - 33^2 = 675
70^2 - 65^2 = 675
114^2 - 111^2 = 675
338^2 - 337^2 = 675

Lo bueno de este enfoque, aunque poco elegante (¡¿114 mil casos a comprobar?!), es que sólo requiere convencerse de que el límite superior es válido y de que el programa hace efectivamente las comprobaciones de todos los casos.

(Lo anterior supone que el dominio en cuestión son los números naturales (enteros positivos). Si es un dominio mayor, hay más respuestas: negativas en los enteros, y en los reales hay muchas respuestas. Demostrar que en los racionales no hay más respuestas que en los enteros es un problema divertido).

Answer 3

De acuerdo con esta lógica, la respuesta parece ser de 6 maneras. Sin embargo, en realidad hay 24 formas porque cada número que se eleva al cuadrado puede ser positivo o negativo, lo que produce 24 formas de escribir la ecuación.