Los grupos son grandes objetos para trabajar con, como todos sabemos. Con muy poco de la estructura, podemos decir con bastante general de las cosas. No obstante, los grupos pueden ser difíciles de manejar y miramos a las representaciones para ayudar a simplificar el asunto. Grupo de representaciones nos permiten emplear tanto las técnicas de la teoría de grupo, así como de álgebra lineal. Los campos son también grandes objetos para trabajar con. Tal vez es una pregunta tonta para preguntar, pero ¿por qué no le estudio de las representaciones de los campos? Ahora tenemos dos (abelian) grupos de trabajo, que parece que podría complicar las cosas, pero en la superficie no parece completamente razonable. Hay algunos algebraicas razón por qué no deberíamos molestar con las representaciones de los campos o incluso anillos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los grupos son una abstracción de la simetría. Un grupo de representación es una forma de realizar el resumen de simetría codificado en un grupo por medio de la transformación lineal, es decir, como transformación geométrica de una determinada naturaleza agradable de un espacio lineal, a menudo de un número finito de dimensiones. Con los campos de la situación es diferente. Un campo no es algo que codifica la simetría (aunque tiene dos grupos relacionados con ella). Por otra parte, para tener un campo de representación en un espacio lineal que usted necesita alguna manera de crear un campo de un espacio lineal y, a continuación, considere campo homomorphisms $F\to Fieldification(V)$. Hay dos problemas aquí. No hay forma natural de giro de un espacio lineal en un campo. Y aunque la hubiera, entonces desde el campo homomorphisms son todos inyectiva, la representación será sólo una incrustación del campo en la (inexistente) de campo-de-algo-en-V.
En general, usted puede hacer la misma pregunta acerca de cualquiera de las dos estructuras. Dada la estructura de la $S_1$, ¿por qué no considerar la posibilidad de representación de la misma, utilizando la estructura de $S_2$. Para que esto hará sentido debe tener una forma de convertir un $S_1$ estructura en un $S_2$ estructura considerando homomorphisms. No es razonable esperar que esto sea posible. El hecho de que endomorphisms en cualquier categoría de formar un monoid y que automorfismos en cualquier categoría de formar un grupo explica por qué ver las representaciones de los grupos en diferentes lugares. Pero endomorphisms y automorfismos rara vez los campos de formulario.
