Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo (pero no necesariamente noeteriano) con unidad. Sea $M$ ser un $R$ -módulo. Supongamos que, para todo $\mathfrak p \in\text {Spec}(R),$ $\text{pd}_{R_{\mathfrak p}}M_{\mathfrak p}< \infty $ . ¿Es el caso que $\text{pd}_RM < \infty$ ?
Respuestas
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Dejemos que $R$ sea un anillo con $\operatorname{gldim}(R)=\infty$ . Entonces existe $R$ -de dimensión proyectiva arbitraria. Tomando su suma directa podemos encontrar un $R$ -Módulo $M$ de dimensión proyectiva infinita. Ahora bien, si la dimensión global de todas las localizaciones de $R$ es finito, es decir, $R_{\mathfrak p}$ es un anillo local regular para todo $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}(R)$ se deduce que la dimensión proyectiva de todas las localizaciones de $M$ es finito.
Tal $R$ es el ejemplo clásico de Nagata de un anillo noetheriano de dimensión Krull infinita.
gpojd
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Esto está mal, lo dejo arriba por si ayuda a alguien más a evitar los errores que acabo de cometer :) Gracias a QiL y YACP por las indicaciones.
Vale, sí, puedes llevar a cabo mi primer comentario para los esquemas afines: es decir, si tomas un producto arbitrario de anillos $R_i$ , $$Spec \; \prod R_i \simeq \coprod Spec \; R_i$$
Dónde $\coprod$ es una unión disjunta. Con esto, si tomamos un producto contable de, por ejemplo $$R_i = \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_i]$$ sólo para que $gldim \; R_i = i$ y tomar $M$ para ser literalmente $(x_1, \ldots, x_i)$ , en el interior $Spec \; R_i$ tiene dimensión proyectiva $ i$ en el origen y es 0 en el resto.
