Interesante e inesperado de aplicaciones de $\pi$

Question

$\text{What are some interesting cases of $\pi$ appearing in situations that do not seem geometric?}$

Desde que vi la identidad de $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

y la generalización de $\zeta (2k)$, mi percepción de la $\pi$ ha cambiado. Yo solía pensar que es más bien oscuro y puramente geométrica (que se aplica a los círculos y tal), pero parece que no es el caso, ya que aparece en este tipo de cosas que no tienen geométricas conocidas de conexión por lo que yo sé. ¿Cuáles son algunos otros casos de $\pi$ apareciendo en los lugares más inesperados, y es que hay un subyacente geométricas explicación para su aparición?

En otras palabras, ¿cuáles son algunos ejemplos de $\pi$ apareciendo en lugares que no se pueden esperar?

Answer 1

$\pi$ y el conjunto de Mandelbrot

Supongamos que iterar la función de $f(z)=z^2+c$ a partir de a $z_0=0$. Por ejemplo, si $c=1/4$, los primeros términos son \begin{align} z_0&=0 \\ z_1&=0^2+1/4=1/4\\ z_2&=(1/4)^2+1/4=5/16 \end{align} Se puede demostrar que la secuencia converge lentamente hasta el $1/2$. Por otro lado, si $c=1/4+\delta$ donde $\delta>0$ (no importa cuán pequeño), entonces la sucesión diverge a $\infty$. Esto corresponde al hecho de que $c=1/4$ está en la frontera del conjunto de Mandelbrot.

Ahora la siguiente pregunta: dado $\delta>0$, ¿cuántas itera $N$ tarda hasta que se $z_N>2$? Aquí están las respuestas de varias opciones de $\delta$:

\begin{array}{c|c} \delta & \text{number of iterates until escape} \\ \hline 0.01 & 31 \\ \hline 0.0001& 313 \\ \hline 0.000001&3141\\ \hline 0.00000001&31415 \end{array}

De hecho, si $N(\delta)$ representa el número de itera hasta que el iterar valor supera los dos, entonces se puede demostrar que $$\lim_{\delta\rightarrow 0^{+}} N(\delta)\sqrt{\delta} = \pi.$$

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

¿Cuáles son algunos casos interesantes de $\pi$ aparecen en situaciones que no son geométricas ?

Ninguno! :-) Has hecho bien, para añadir que "no parece" en el título! ;-)

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Todos los $\zeta(2k)$ están delimitadas las sumas de cuadrados, ¿no ? Y la ecuación del círculo, $x^2$$+y^2=r^2$, también representa un delimitada suma de cuadrados, ¿no ? :-) Asimismo, si usted fuera a leer una prueba de por qué $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ , usted verá que también emplea la ecuación de un círculo. $\big($Aviso el cuadrado de x en el exponente ?$\big)$ :-) Lo mismo para $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}=\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2$ , ambos de los cuales pueden ser fácilmente rastreada hasta el teorema de Pitágoras. Lo mismo va para el Wallis producto, cuya matemática conexión con el Basilea problema es bien conocido, el primero es un corolario de la más general infinita de productos para la función seno, establecido por el gran Leonhard Euler. $\big($En general, todos los productos de la forma $\prod(1\pm a_k)$ están vinculados a las sumas de la forma $\sum a_k$$\big)$. También es ningún misterio que la discreta diferencia de potencias impares de números consecutivos, así como su equivalente, el derivado de un extraño poder, es básicamente una potencia par, es decir, un cuadrado, por lo que debe venir como ninguna sorpresa si la señal alterna sumas $(+/-)$ de la Dirichlet función beta también pasar a depender de $\pi$ por extraño valores del argumento. :-) Fórmula de Euler y su identidad no son la excepción, ya que el vínculo entre las dos constantes, e y $\pi$, también está bien establecido, por cuanto el primero es la base del logaritmo natural, cuyos derivados se describe la hipérbola $y=\dfrac1x$, lo que fácilmente puede escribirse como $x^2$$-y^2=r^2$, después de una rotación de la gráfica de $45^\circ$. Como para Viete de la fórmula, su geométricas y trigonométrica orígenes están directamente relacionados con la mitad del ángulo de la fórmula conocida desde antes de la época de Arquímedes. Etc. $\big($Y la lista podría continuar, y en, y en $\!\ldots\!\big)$ Donde ver a los hombres la magia, matemáticas, ve a diseño. ;-) Espero que todo esto ayuda a arrojar algo de luz sobre el tema.

Answer 3

No sé si esto es lo que están buscando, pero la fórmula para $\pi$ descubierto (de alguna manera) por Ramanujan en algún momento alrededor de $1910$ está dada por,

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k\geq0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.$$

Si hay una interpretación geométrica para esto, me gustaría saber.

Answer 4

La probabilidad de que dos números enteros positivos son coprime es $\frac{6}{\pi^2}$.

Answer 5

Cuando encontré por primera vez la distribución normal en mi escuela de estadística de la clase, me sorprendí al descubrir pi en la normalización de la integral de Gauss:

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.$$

El estadístico de análisis de datos es acerca de como trascienden lo puramente geométricos en situaciones como la que puedo pensar.