$1/|x|^n$ no es integrable

Question

Deje $\mu $ ser positivo medida de Borel en $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}$ such that $\mu \left( B\a la izquierda( a,r\right) \right) \leq Cr^{n}$ para algunos $n\in (0,d]$ y para cualquier balón $B\left( a,r\right) $ $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}$. Could you help me to prove that $\int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}d\mu \left( x\right) =\infty $?

Mi esfuerzo: $\int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}}\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}d\mu \left( x\right) \geq \int_{% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{d}\barra invertida B\left( 0,1\right) }\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}% d\mu \left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\int_{B\left( 0,2^{k+1}\right) \barra invertida B\left( 0,2^{k}\right) }\frac{1}{\left\vert x\right\vert ^{n}}% d\mu \left( x\right) \geq \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{\left( 2^{k+1}\right) ^{n}}\mu \left( B\a la izquierda( 0,2^{k+1}\right) \barra invertida B\left( 0,2^{k}\right) \right) $.

Answer 1

Para cada positivos $r$$n$, $$ \frac1{r^n}=\int_r^{+\infty}n\frac{\mathrm ds}{s^{1+n}}, $$ por lo tanto el teorema de Tonelli rendimientos $$ \int_{\mathbb R^d}\frac1{\|x\|^n}\mathrm d\mu(x)=\int_{\mathbb R^d}\int_{\|x\|}^{+\infty}n\frac{\mathrm ds}{s^{1+n}}\,\mathrm d\mu(x)=n\int_0^{+\infty}m(s)\frac{\mathrm ds}{s^{1+n}}=(*), $$ donde, para cada no negativo $s$, $$ m(s)=\mu(B(S,s)). $$ A partir de este punto, es a usted a seleccionar algunas hipótesis sobre la función de $m$ asegurar que, para el valor de $n$ que te interesa, la integral de la $(*)$ converge o que diverge. Como se ha mencionado en los comentarios, la hipótesis actual no puede trabajar.

Para hacer la integral de la $(*)$ convergen en $0$, el control de $m(s)\leqslant Cs^a$ al $s\to0$, para algunas de las $a\gt n$, es suficiente. Para hacer la integral de la $(*)$ convergen en el infinito, el control de $m(s)\leqslant Cs^b$ al $s\to\infty$, para algunas de las $b\lt n$, es suficiente.

Por otro lado, si $m(s)\geqslant Cs^n$ al $s\to0$ o al$s\to\infty$, $(*)$ diverge. Esto podría ser el resultado que usted tenía en mente. Tenga en cuenta, finalmente, que la hipótesis de $n\leqslant d$ es irrelevante, pero que $n$ debe ser positivo.