¿La suma de matrices positivas definidas sigue siendo positiva?

Question

Tengo dos matrices, que son cuadradas, simétricas y definidas positivas. Me gustaría demostrar que la suma de las dos matrices sigue teniendo las mismas propiedades, que es cuadrada, simétrica y definida positiva. Las dos primeras propiedades son obvias, pero la propiedad definida positiva no lo es. ¿Alguna pista para la demostración? Gracias.

Answer 1

Una matriz real $M$ es positivo-definido si y sólo si es simétrico y $u^TMu > 0$ para todos los vectores no nulos $u$ .

Ahora bien, si $A$ et $B$ son positivos-definidos, $u^T(A+B)u = \ldots?$

Answer 2

Esta es una respuesta más detallada.

Ahora dejemos que $A$ et $B$ sean matrices definidas positivas, es decir, para todo $h \; \in \mathbb{R} ^{n}$ debemos tener $h^{T}Ah > 0$ y $h^{T}Bh > 0$ .

De las propiedades de los números reales

$0 < h^{T}Bh + h^{T}Ah$

Ahora a partir de las leyes distributivas de la multiplicación de matrices debemos tener

$0< h^{T}Bh + h^{T}Ah =h^{T} (B + A)h$

Esto implica que $0<h^{T} (B + A)h$ que significa $B+A \succ 0$ .

Es decir $B+A$ es positiva definida.

Answer 3

A+B, o B+A, es definida positiva si tanto A como B son definidas positivas. Supongamos que A es una matriz m1*n1 y B es una matriz m2*n2. Como se pueden sumar, m1=m2, n1=n2. Desde entonces, al sumar estas dos matrices, las propiedades de los menores principales no cambiarán respecto a las anteriores. Desde entonces, A+B es positiva definida. ¡Buena suerte!