Demostrar que A es un conjunto abierto si y sólo si $A \cap Bd(A) = \emptyset $

Question

Demostrar que A es un conjunto abierto si y sólo si $A \cap Bd(A) = \emptyset $

Aquí está mi comienzo: Supongamos que A es un conjunto abierto. Sabemos que $X-A$ está cerrado. Necesidad de mostrar $A \cap Bd(A) = \emptyset$ Sea $ x \in A$ .

Yendo en la otra dirección, supongamos $ A \cap Bd(A) = \emptyset$ . Necesidad de mostrar $A$ es un conjunto abierto.

Sea $x \in A$ . ya que $x \in A$ $x \notin Bd(A)$

¿Voy en la dirección correcta? Me siento más seguro de mi punto de partida para la segunda parte que para la primera.

Answer 1

Puedes eliminar la primera dirección con un poco de álgebra de conjuntos.

$(\implies)$ Supongamos que $A$ está abierto, lo que significa que $A = A^\circ$ . Entonces tenemos $$\begin{align} A \cap \text{Bd}(A) = A \cap (\overline{A}\setminus A^\circ) \\ = A \cap (\overline{A}\setminus A) \\ = A \cap (\overline{A}\cap A^c) \\ = (A\cap A^c)\cap \overline{A} \\ = \emptyset \cap \overline{A} \\ = \emptyset\end{align}$$

$(\impliedby)$ Supongamos $A \cap \text{Bd}(A) = \emptyset $ pero para evitar contradicciones supondremos además que $A$ no está abierto. Entonces hay un elemento $x \in A$ tal que ningún conjunto abierto que contenga $x$ es un subconjunto de $A$ . Pero $A^\circ$ está siempre abierta y $A^\circ \subset A$ así que $x\notin A^\circ$ . Es decir $x \in \overline{A}\setminus A^\circ$ o que $x$ es un punto límite de $A$ . Desde $x$ es un elemento de $A$ y un elemento de la frontera, entonces $x\in A\cap\text{Bd}(A) \neq \emptyset$ una contradicción.

Answer 2

Supongamos que $A$ está abierto. Entonces $x \in A$ . Entonces $A$ es un conjunto abierto que contiene $x$ que no se cruza con $X \setminus A$ . Así que $x$ no está en el límite.

Supongamos que la intersección de la frontera de $A$ y $A$ está vacía. Entonces todos los puntos de $A$ no están en el límite. Por tanto, para cada $x \in A$ existe un conjunto abierto $U_x$ que contenga x y que no se cruce con $A$ o $X \setminus A$ . Obviamente $U_x$ debe intersecarse con $A$ como $x \in A$ . Por lo tanto, no puede intersecarse con $X \setminus A$ . Es decir $U_x \subseteq A$ . (¿por qué?) Ahora cada punto $i$ en $A$ está contenido en un conjunto abierto $U_i$ contenida en $A$ . ¿Cuál es la unión de todos estos conjuntos abiertos? ¿Qué implica esto sobre $A$ ?

Answer 3

Para la primera dirección podemos decir que BdA es la intersección de closure(A) y closure(X \A ). Si x pertenece tanto a A como a BdA entonces x pertenece tanto a A como a closure(X \A ) pero X \A es cerrado (ya que A es abierto) por lo que closure(X \A ) es X \A. Por tanto, x pertenece tanto a A como a X \A lo cual no puede ser cierto.

Para la otra dirección si x pertenece a A entonces no pertenece a BdA. Por lo tanto, x pertenece o bien al int(X \A ) o intA. El primer caso no es cierto por lo que x está en el interior de A lo que significa que A es abierto.

Answer 4

Por la simetría de la definición, está claro que $$ \operatorname{Bd}(A)=\operatorname{Bd}(X\setminus A) $$ Desde $A\cap B=\emptyset$ es equivalente a $B\subseteq X\setminus A$ para cualquier subconjunto $A$ y $B$ de $X$ la afirmación es equivalente a

$C$ es cerrado si y sólo si $\operatorname{Bd}(C)\subseteq C$

También se deduce de la definición que cualquier punto de la frontera de un conjunto $B$ pertenece al cierre de $B$ .

Por lo tanto, si $C$ es cerrado tenemos $\operatorname{Bd}(C)\subseteq C$ .

Por el contrario, supongamos $\operatorname{Bd}(C)\subseteq C$ y que $x$ pertenecen al cierre de $C$ . Si un barrio $U$ de $x$ no se cruza $X\setminus C$ entonces $U\subseteq C$ Así que $x\in C$ . Si todas las vecindades de $x$ intersect $X\setminus C$ entonces $x\in\operatorname{Bd}(C)$ Así que $x\in C$ también.

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Sin embargo, su dirección es buena.

Supongamos que $A\cap\operatorname{Bd}(A)=\emptyset$ y que $x\in A$ . Entonces $x\notin\operatorname{Bd}(A)$ y así un barrio $U$ de $x$ no se cruza $X\setminus A$ lo que significa $U\subseteq A$ . Entonces

Supongamos que $A$ está abierto y deja $x\in A$ . Entonces existe una vecindad $U$ de $x$ tal que $U\subseteq A$ . Por lo tanto