Estoy haciendo ejercicios para preparar mi anillo examen de teoría:
Cómo muchos de los elementos que hace el anillo de $ℤ[X]/(X^2-3,2X-4)$? Describir la la estructura de este anillo.
Me resulta siempre difícil si el ideal generado por dos elementos.
Pensé en algo como esto. $X=2$ $X^2=3$ . Por lo tanto, $4=3$ por lo tanto $1=0$. Como $2=1$$X=0$. Y entonces todo parece convertirse $0$.
No estoy seguro de si se me permite verlo de esta manera, pero esta es la primera cosa que viene a mi mente.
Aquí hay otra manera de calcular esto.
En el anillo cociente, tenemos $X^2 = 3$ (me van a continuar con la escritura de $X$ para denotar la imagen de $X$ en el cociente)). Por lo tanto $(X-2)(X+2) = X^2 - 4 = - 1,$, por lo que en el cociente, tenemos $X-2$ es una unidad. Por lo tanto la ecuación de $2(X-2) = 0$ simplifica a $2 = 0$. Así, el cociente es igual a $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]/(X^2 -3)$.
Ahora $\mathbb Z/2\mathbb Z$ es un campo de dos elementos, y en particular en este campo $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. Con esto, podemos ver que $X^2 - 3 = X^2 + 1 = (X+1)^2$. Si hacemos un cambio de variables $T = X+ 1$, entonces podemos escribir el cociente como $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[T]/(T^2).$
Henry respuesta hace un buen trabajo de explicar lo que la congruencia clases aspecto, a excepción de un paso en falso acerca de $b$. Mediante el algoritmo de Euclides en $x^2-3$$2x-4$$\Bbb Q[x]$, podemos encontrar que $2(x^2-3)-(2x-4)(x+2)=2$, lo $2$ es en ese ideal, y, por tanto,$(x^2-3,2x-4)=(x^2+1,2)$. Que reduce aún más las posibilidades de $b$ $0,1$también.
Voy a añadir un poco acerca de la estructura de su anillo (que voy a llamar a $R$).
Claramente se trata de un conmutativa finito anillo: $\{0,1,x,x+1\}$, y usted puede utilizar un isomorfismo teorema a demostrar que es isomorfo a $\Bbb F_2[x]/(x+1)^2$
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