Muestra que $ \int_0 ^ \infty \frac {1}{1+x^n} dx= \frac { \pi /n}{ \sin ( \pi /n)}$ donde $n$ es un entero positivo.

Question

Usando los residuos, pruebe el contorno de abajo con $R \rightarrow \infty $ y $$ \lim_ {R \rightarrow \infty } \int_0 ^R \frac {1}{1+r^n} dr \rightarrow \int_0 ^ \infty \frac {1}{1+x^n} dx$$

He intentado la suma de residuos, pero mi suma no convergió.

Answer 1

La integral de $$ \int_\gamma\frac1 {1+z^n} \mathrm {d}z \tag {1} $$ en el rayo saliente en el eje real tiende a $$ \int_0 ^ \infty\frac1 {1+x^n} \mathrm {d}x \tag {2} $$ En el rayo entrante paralelo a $e^{2 \pi i/n}$ la integral tiende a $$ -e^{2 \pi i/n} \int_0 ^ \infty\frac1 {1+x^n} \mathrm {d}x \tag {3} $$ Para $n \ge2 $ la integral en el arco circular se desvanece. Por lo tanto, $$ \int_\gamma\frac1 {1+z^n} \mathrm {d}z = \left (1-e^{2 \pi i/n} \right ) \int_0 ^ \infty\frac1 {1+x^n} \mathrm {d}x \tag {4} $$ Hay una singularidad contenida en $ \gamma $ en $z_0=e^{ \pi i/n}$ . El residuo de $ \frac1 {1+x^n}$ en $z_0$ es $ \frac1 {nz_0^{n-1}}=- \frac {z_0}{n}$ . Así, $$ 2 \pi i \left (- \frac {e^{ \pi i/n}}{n} \right ) = \left (1-e^{2 \pi i/n} \right ) \int_0 ^ \infty\frac1 {1+x^n} \mathrm {d}x \tag {5} $$ que resuelve por división a $$ \int_0 ^ \infty\frac1 {1+x^n} \mathrm {d}x= \frac { \pi /n}{ \sin ( \pi /n)} \tag {6} $$ Para $n=1$ la integral se divide y $ \frac { \pi }{ \sin ( \pi )}= \frac\pi0 $ .