¿La transformada de Laplace es biyectiva?

Question

Alguien escribió en el Artículo de Wikipedia sobre la trasforma de Laplace que "esta transformación es esencialmente biyectiva para la mayoría de los usos prácticos".

¿Puede alguien proporcionar una prueba o contraejemplo que demuestre que la transformada de Laplace no es biyectiva sobre el dominio de las funciones de $\mathbb{R}^+$ a $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Para "la mayoría de los usos prácticos" es importante que la transformada de Laplace ${\cal L}$ es inyectiva . Esto significa que cuando se ha determinado una función $s\mapsto F(s)$ que se adapte a sus necesidades, hay como máximo un proceso $t\mapsto f(t)$ tal que $F$ es su transformada de Laplace. A continuación se puede buscar esta única $f$ en un catálogo de transformadas de Laplace.

Esta inyectividad de ${\cal L}$ es el contenido de Teorema de Lerch y es, de hecho, un pilar esencial de la "doctrina de Laplace". El teorema se demuestra primero para casos especiales en los que tenemos una fórmula de inversión, y luego se extiende al caso general.

La diferencia entre "inyectividad" y "biyectividad" aquí es que no tenemos una descripción simple del espacio de todas las transformadas de Laplace $F$ . Pero no necesitamos conocer todos los animales cuando queremos analizar una cebra. El teorema de Lerch nos dice que tiene un único par de padres.

Answer 2

¿Bijetivo de qué espacio de funciones a qué espacio de funciones?

Por ejemplo, por el teorema de Paley-Wiener la transformada de Laplace es una biyección de $L^2(0,\infty)$ a las funciones $F$ analítica en el semiplano derecho abierto cuyas restricciones a las líneas verticales en el semiplano derecho tienen límites uniformes $L^2$ norma.

Answer 3

Depende de su definición. Si preguntas si es biyectiva desde las funciones definidas en $\mathbb{R}$ Compara la transformada de laplace de $$ f(x)=\begin{cases} \sin(x)&x\geq0\\ 0&x<0 \end{cases} $$

y $$ g(x)=\sin(x), \forall x. $$