¿Podemos usar idendities trigonométricas para calcular $\cos(x)$ y $\sin(x)$ % extremadamente grande $x$?

Question

Si queremos calcular el $\sin(x)$ $\cos(x)$ grandes $x$ , lo que permite decir $10^5$ , la forma habitual es la de reducir el número de $x$ modulo $2\pi$.

Si el número es de un gran poder de un pequeño número, por ejemplo,$2^{200}$, también podría utilizar $$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$$ and $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$ en múltiples ocasiones.

¿Tenemos alguna posibilidad, si la corriente es demasiado alta para ambos métodos ? Por ejemplo, podemos calcular el $\sin(x)$$\cos(x)$$x=10^{10^{10^{10}}}$ ?

Tenga en cuenta, que el poder de la torre debe ser calculado desde arriba. Por lo tanto, tenemos

$$x=10^{(10^{(10^{10))}}}$$

En tetration-notación podemos escribir $x=10\uparrow\uparrow 4$

Answer 1

Mediante el cálculo de $\cos(x)$ $\sin(x)$ (y por lo tanto $\exp(ix)$), que son, en efecto, el cómputo de la parte fraccionaria de $x/(2\pi)$. Cualquier procedimiento numérico que intenta hacer esto (aproximadamente) debe lidiar con el hecho de que este es muy sensible a pequeños errores relativos en $x$, cuando se $x$ es grande. Por lo tanto, si usted desea aproximar $\cos\left(10^{10^{10}}\right)$ a cualquier precisión, sería necesario hacer los cálculos con al menos $10^{10}$ dígitos significativos. Esto podría estar cerca del límite de la viabilidad con los ordenadores de hoy. Pero para $\cos\left(10^{10^{10^{10}}}\right)$, necesitaría $10^{10^{10}}$ dígitos significativos; el universo conocido no sería lo suficientemente grande para almacenar ese número de dígitos.