¿Qué números del Aleph intuitivamente?

Question

No puedo conseguir mi cabeza alrededor del concepto de los 'tipos' de infinito Aleph. ¿Qué es una manera intuitiva fácil de ver cuando se da el número entero números $\aleph_0$ $\aleph_1$ seguirá?

Answer 1

Los cardenales son los siguientes: $$0,1,2,3,4,5,6,\dots,\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2, \aleph_3,\dots,\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots,\aleph_{2\omega},\aleph_{2\omega+1},\dots $$ Donde $\aleph_0$ es la primera infinito cardenal (la cardinalidad de cada uno de los infinitos contables conjunto), por lo $\aleph_0\notin\mathbb N$, no se dice que ser un número entero en la forma ordinaria. A continuación, $\aleph_1$ es el siguiente el cardenal, y así sucesivamente.. (y esto "y así sucesivamente.." también incluye algunos conocimientos acerca de los números ordinales).

Por Cantor del teorema de ($|P(A)| > |A|$ para todos los conjuntos de $A$) tenemos que para cada cardenal hay un poco más de cardenal. Por el fundamento y el axioma de elección en ZFC, tenemos que cada cardenal es un cardinal de un conjunto ordenado (que es en bijection a algunos ordinal), y se deduce que siempre hay una próxima cardenal..

Answer 2

El $\aleph_1$ del número cardinal se define como la cardinalidad del conjunto de todos números ordinales contables, es decir, ordinales de cardinalidad $\le\aleph_0$. Si usted cree ese conjunto de números ordinales contables existe, entonces ya lo tienes.

Answer 3

Tal vez usted está pidiendo un ejemplo de un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$. Cantor pensaba que el conjunto de todos los números reales, sería un ejemplo. De hecho, pensó que había una prueba. Luego se encontró con un agujero en la prueba, y repitió la pregunta como una hipótesis, que ha llegado hasta nosotros como "La Hipótesis continua": la cardinalidad de los reales es $\aleph_1$. Nadie ha sido capaz de probar esta, ni para refutar: En 1940, Gödel publicó su prueba de que esta hipótesis no puede ser refutada sobre la base de los axiomas de las matemáticas generalmente aceptados en el tiempo y, en 1963, Cohen publicó su prueba de que no puede ser demostrado.

La línea de fondo es que nadie ha sido capaz de presentar un conjunto de modo demostrable de cardinalidad $\aleph_1$ y, en nuestra comprensión actual de estas cosas, nadie lo hará.

Si eso no responde a su pregunta, tal vez te gustaría editar tu pregunta por lo que alguien va a ser capaz de conseguir exactamente lo que usted está preguntando.