Campo con números naturales

Question

Para asegurarse de que estamos hablando de lo mismo, me gustaría publicar las definiciones pertinentes sé de primera.

Definiciones:

Un par de $(G, +)$ donde $G$ es un conjunto y

$+: G \times G \rightarrow G$

se llama conmutativa grupo si se dispone de las siguientes tres características:

• (asociatividad): $\forall x,y,z \in G: (x+y)+z=x+(y+z)$
• (elemento de identidad): $\exists e \in G \forall x \in G: e + x = x = x +e$
• (inverso de los elementos): $\forall x \in G \exists x^{-1} \in G: x^{-1} + x = e = x + x^{-1}$
• (conmutatividad): $\forall x,y \in G: x+y=y+x$.

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Un triple de $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ donde $\mathbb{K}$ es un conjunto y

$+: \mathbb{K} \times \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$

$\cdot: \mathbb{K} \times \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$

se llama un campo si se dispone de las siguientes tres características:

• $(\mathbb{K}, +)$ es un grupo conmutativo
• $(\mathbb{K} \setminus \{0\}, \cdot)$ es un grupo conmutativo
• distributiva propiedades: $\forall x,y,z \in \mathbb{K}: x \cdot (y+z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$ $\forall x,y,z \in \mathbb{K}: (y+z) \cdot x = (y \cdot x) + (z \cdot x)$

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$\mathbb{N^+} := 1, 2, 3, 4, 5 ...$ (todos los enteros positivos)

$\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N}$ (los números naturales con el cero)

$\mathbb{N}$ puede ser: $\mathbb{N^+}$ o $\mathbb{N}_0$.

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Mi pregunta: ¿un campo de existir, que ha $\mathbb{N}$, su conjunto?

Sé que $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ es un campo y sé que $(\mathbb{N}, + )$ es sólo un conmutativa semigroup.

Pero tal vez es posible definir dos asignaciones $\circ, *$ $\mathbb{N}$ de tal manera que $(\mathbb{N}, \circ, *)$ es un campo.

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Relacionados:

El más pequeño campo que contiene los números enteros es el campo de los racionales números.

Fuente: sp-Wikipedia: Integer

No sé si esto es cierto. Si alguien puede demostrar (o, al menos, el garabato, la prueba de) la cita sería una buena respuesta, supongo.

Answer 1

$\Bbb Q$ es un countably conjunto infinito, así que hay un bijection $\varphi:\Bbb N\to\Bbb Q$. Para $m,n\in\Bbb N$ definir

$$m\circ n=\varphi^{-1}\Big(\varphi(m)+\varphi(n)\Big)$$

y

$$m\ast n=\varphi^{-1}\Big(\varphi(m)\cdot\varphi(n)\Big)\;;$$

a continuación, $\langle\Bbb N,\circ,\ast\rangle$ es un campo isomorfo a $\langle\Bbb Q,+,\cdot\rangle$.

Añadido: Por tu última pregunta, la prueba es de notar que cada campo de $F$ que contiene una copia de $\Bbb N$ con las operaciones habituales también debe contener una copia de $\Bbb Q$ con las operaciones habituales. En orden para $F$ a ser un aditivo grupo, debe contener un elemento $-n$ por cada $n\in\Bbb N$, y en orden para que sea un campo, debe contener un elemento $n^{-1}$ por cada $n\in\Bbb Z^+$. Una vez que se tiene todos los números enteros y todos los recíprocos de los números enteros positivos, es fácil ver que usted debe tener todos los racionales sólo para conseguir el cierre bajo la multiplicación.

Tenga en cuenta que estoy confundiendo través de una gran cantidad de detalles acerca de isomorfo copias con el fin de dar la idea fundamental.

Answer 2

Seguro, uno puede de transporte de la estructura de una expresión algebraica estructura a cualquier conjunto de la misma cardinalidad, dado cualquier bijection entre los dos conjuntos subyacentes. Cuando el objetivo fijado es $\Bbb N$ podemos pensar de los naturales como de los índices (o equipo de direcciones de memoria) de los elementos de campo. Para realizar una operación sobre el terreno en el entero de los índices, eliminar la referencia a ellos para obtener los elementos de campo, realizar la operación de campo, a continuación, devuelve el índice entero del resultado, por ejemplo, $\: n + m = i\,(i^{-1}(n) + i^{-1}(m))\:$ donde $\:i^{-1}(n)\:$ es el campo en el elemento con índice de $\,n\,$ $\:i(a)\:$ es el índice del elemento de campo $a,\:$ y de forma análoga para todas las demás operaciones.

Tenga en cuenta que esto es simplemente un procedimiento reinterpretación de $\:j(n+m) = j(n) + j(m),\,\ j = i^{-1}.\:$ Ya que esto es cierto para todas las operaciones, el mapa de $\,j\,$ es no sólo un bijection de conjuntos, pero, además, un anillo/campo de isomorfismo - como se desee.

Comentario $\ $ Esto está íntimamente ligada a la noción de isomorfismo para estructuras algebraicas. Desde una perspectiva algebraica es crucial para olvidarse de cualquier estructura interna que poseen los elementos de la estructura. Tal estructura interna es un artefacto de la particular construcción empleado. Ejemplo de representación de la información no es esencial algebraica de la propiedad. No importa si el anillo de los elementos son representados por (co)establece, o por secuencias, matrices, funciones diferenciales o diferencia de los operadores, etc. En su lugar, todo lo que importa algebraicamente son los elementos y cómo se relacionan entre sí en virtud de las operaciones de la estructura. Por lo tanto el tipo de isomorfismo de un anillo sólo depende de sus aditivos y multiplicativos de la estructura. Anillos con la misma suma y la multiplicación de las tablas son isomorfos, independiente de lo que sea 'nombres', o la estructura interna de los elementos que podrían poseer (posiblemente conjunto teórico, o estructuras de datos en lenguajes de programación, etc). Somos libres para "cambiar el nombre de" los elementos de transporte de la estructura algebraica a lo largo de cualquier bijection a cualquier conjunto de la misma cardinalidad. Esta es la esencia de la abstracción encapsulado en la noción de un algebraica de la estructura.

Para algunos ejemplos de transporte de la estructura, ver este sencillo ejemplo donde $\rm\:n\ mod\ 7\:$ es recalificado por $\rm\:n - 3,\:$ y ver este post que las vistas de las formas normales desde esta perspectiva, por ejemplo, en $\,\Bbb Z/7\Bbb Z,\,$ de los enteros mod $7,\,$ frecuentemente las etiquetas de la coset $\rm\: n + 7\,\Bbb Z\:$ por el número entero $\rm\:n\ mod\ 7,\:$ que efectivamente transporta el cociente de la estructura del anillo de la estructura para el conjunto de $\rm\{0,1,2,3,4,5,6\}$ menos positiva de los representantes de las clases de congruencia. Ver también aquí, donde la razón detrás de un truco se reduce al hecho de que una operación en racionales es asociativa y conmutativa, simplemente porque es la suma o la multiplicación transportado a racionales marcadas por la recíproca o incrementos.

Nota: Algunos autores reservan el término "transporte de estructura" por menos ejemplos triviales, por ejemplo, el transporte de la clase de la estructura del grupo de cuadrática campos de los ideales primitivos binario cuadráticas formas - que simplifica en gran medida de Gauss, la presentación de la composición de la formas cuadráticas binarias.

Answer 3

El campo más pequeño que contiene los números enteros con las operaciones usuales en los enteros es racionales, ya que cualquier campo que contiene los enteros debe contener sus cocientes (excepto la división por cero), por lo tanto, debe contener los racionales.