Una serie que relaciona números de catalán

Question

Recordemos la definición de catalán números: $$C_n=\frac1{n+1}\binom{2n}n=\frac{2^n(2n-1)!!}{(n+1)!}.\tag1$$ Ahora considere la siguiente serie con un parámetro de $n\in\mathbb N^+$: $$S_n=\frac{2\cdot18^n}{3\sqrt5}\cdot\sum_{k=1}^\infty\frac{C_{2k}\cdot k^n}{5^{2k}}.\tag2$$ Parece que $S_n$ es siempre entero (y extraño), con los siguientes valores de $n=1,2,3,...:$ $$1, 43, 3009, 318507, 46065921, 8482079403, 1899432317889, 501282878789547,...$$ (haga clic aquí para ver más términos)

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Podemos demostrar que $S_n$ es siempre entero (impar)? Podemos encontrar una fórmula explícita para $S_n$ que no impliquen una infinita suma?

Answer 1

Deje que

$$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{2 k+1} \binom{4 k}{2 k} x^k $$

Entonces la diferenciación, multiplicación, integración, etc., nos encontramos con que

$$f(x) = \frac1{4 \sqrt{x}} \left [(1+4 \sqrt{x})^{1/2} - (1-4 \sqrt{x})^{1/2} \right ] - 1$$

Debe ser normal que, si definimos el operador

$$\mathcal{D} = x \frac{d}{dx} $$

Entonces

$$S_n = \frac{2 \cdot 18^n}{3 \sqrt{5}} \mathcal{D}^n f\left (\frac1{25} \right ) $$