¿Puedes construir un campo con 4 elementos?

Question

¿Puedes construir un campo con 4 elementos? ¿Puedes ayudarme a pensar en algún ejemplo?

Answer 1

Aquí hay un buen método general para construir ejemplos de campos finitos de cualquier tamaño deseado (una potencia de un primo):

Dado un primo $p$ (en su caso, $p=2$ ), escoge un polinomio mónico $q(x)\in {\mathbb F}_p[x]$ de grado $n$ y irreductible (en este caso, $n=2$ y $q(x)=x^2+x+1$ . Mediante un argumento de recuento, se puede demostrar que siempre hay al menos un polinomio de este tipo $q$ ).

Utilizamos $q$ para construir un campo de tamaño $p^n$ .

Dejemos que $A$ sea el matriz de acompañamiento de $q$ . Esto significa que si $q(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+x^n$ entonces $$A=\left(\begin{array}{ccccc}0&0&\dots&0&-a_0\\ 1&0&\dots&0&-a_1\\ 0&1&\dots&0&-a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\dots&1&-a_{n-1}\end{array}\right).$$ En nuestro caso, $$A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 1&1\end{array}\right).$$

Ahora dejemos que $F=\{ r(A)\mid r \in{\mathbb F}_p[x]\}$ .

La cuestión es que $q(A)=a_0I+a_1A+\dots+a_{n-1}A^{n-1}+A^n=0$ y de hecho, si $t(x)\in{\mathbb F}_p[x]$ y $t(A)=0$ entonces $q$ es un factor de $t$ . Utilizando esto, se comprueba fácilmente que $F$ es cerrado bajo adición y multiplicación y tiene tamaño $p^n$ . También, $t(A)s(A)=s(A)t(A)$ para todos los polinomios $t,s$ . Por último, si $t$ no es un múltiplo de $p$ (es decir, $t(A)\in F$ es distinto de cero), entonces $\{t(A)r(A)\mid r(A)\in F\}=F$ , por lo que hay un $r(A)\in F$ tal que $t(A)r(A)=1$ es decir, todos los elementos de $F$ tienen inversos en $F$ . Así que $F$ es un campo.

Ver que el punto clave es cierto requiere un pequeño argumento. Llama a ${\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e_n}$ la base estándar en el espacio vectorial ${\mathbb F}_p^n$ . Entonces $A{\mathbf e}_i={\mathbf e}_{i+1}$ para $i<n$ y de esto se deduce fácilmente que para ningún polinomio no nulo $t$ de grado inferior a $n$ podemos tener $t(A)=0$ y también que $q(A)=0$ .

[Con más detalle: Tenemos $A{\mathbf e}_1={\mathbf e}_2$ , $A^2{\mathbf e_1}=A{\mathbf e}_2={\mathbf e}_3$ etc., por lo que para cualquier polinomio $t(x)=b_0+\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ de grado como máximo $n-1$ tenemos $t(A){\mathbf e}_1=b_0{\mathbf e}_1+b_1{\mathbf e}_2+\dots+b_{n-1}{\mathbf e}_n$ que es distinto de cero a menos que $b_0=\dots=b_{n-1}=0$ para empezar. También, $q(A){\mathbf e}_1=0$ desde $A^n{\mathbf e}_1=A{\mathbf e}_n=-a_0{\mathbf e}_1-a_1{\mathbf e}_2-\dots-a_{n-1}{\mathbf e}_n$ . Dado que cada ${\mathbf e}_i$ es $A^k{\mathbf e}_1$ para algunos $k$ se deduce que $q(A){\mathbf e}_i=0$ para todos $i$ (ya que $q(A)A^k=A^kq(A)$ ). Dado que el ${\mathbf e}_i$ forman una base, $q(A){\mathbf v}=0$ para todos ${\mathbf v}$ Así que $q(A)=0$ .

Además, como $q(A)=0$ , tenga en cuenta que $A^n$ es igual a un polinomio de grado máximo $n-1$ aplicado a $A$ (A saber, $-a_0I-\dots-a_{n-1}A^{n-1}$ ). Se deduce que cualquier polinomio de grado $n$ aplicado a $A$ es igual a un polinomio en $A$ de grado como máximo $n-1$ . Pero entonces $A^{n+1}=A^nA$ es igual a un polinomio en $A$ de grado como máximo $n$ y, por tanto, uno de grado como máximo $n-1$ y lo mismo ocurre con cualquier polinomio de grado $n+1$ . Entonces $A^{n+2}=A^{n+1}A$ es igual a un polinomio en $A$ de grado como máximo $n$ etc.]

En nuestro caso, el campo de 4 elementos que hemos obtenido es $$\left\{0=\left(\begin{array}{cc}0&0\\ 0&0\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 1&1\end{array}\right),A+I=A^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&0\end{array}\right)\right\}.$$

Lo bueno de este ejemplo es que el producto y la suma son operaciones conocidas (producto y suma de matrices). Por supuesto, desde la teoría general de los campos finitos, dos ejemplos cualesquiera del mismo tamaño son isomorfos. Sin embargo, creo que este es un ejemplo muy concreto que resulta útil para tener en cuenta a medida que se avanza en la teoría, para ver cómo se aplican los resultados generales en este entorno.

Answer 2

Dejemos que $K$ sea su campo.

El grupo aditivo de $K$ es un grupo abeliano con cuatro elementos. El orden de $1$ en este grupo se divide $4$ , por lo que o bien es $2$ o $4$ . Si fuera $4$ Tendríamos $1+1\neq0$ y $(1+1)\cdot(1+1)=0$ lo cual es absurdo en un campo. De ello se desprende que $1+1=0$ en $K$ . Pero entonces para todos $x\in K$ tenemos $x+x=x\cdot(1+1)=0$ y vemos que todos los elementos tienen orden $2$ . En particular, $-1=1$ .

Dejemos que $a$ sea un elemento de $K$ que no es ni $0$ ni $1$ . Entonces $a+1$ no es ni $a$ ni $1$ y si tuviéramos $a+1=0$ entonces $a=-1=1$ lo cual, de nuevo, no es cierto. Concluimos que los cuatro elementos de $K$ son $0$ , $1$ , $a$ y $a+1$ .

Debe comprobar que este conocimiento completo determina la adición en $K$ .

Ahora tenemos que determinar la multiplicación. Como $0$ y $1$ son lo que son, sólo tenemos que ver lo que $a\cdot a$ , $a\cdot(a+1)$ y $(a+1)\cdot(a+1)$ son:

• No podemos tener $a^2=a$ , ya que entonces $a(a-1)=0$ y estamos suponiendo que $a\not\in\{0,1\}$ ; de manera similar, $a^2\neq0$ . Si $a^2=1$ entonces $(a-1)^2=a^2-1=0$ , lo que también es imposible. Por lo tanto, debemos tener $a^2=1+a$ .

• Luego, usando esto, $a\cdot(a+1)=a^2+a=1+a+a=1$ .

• Por último, utilizando esa $1+1=0$ , $(a+1)\cdot(a+1)=a^2+1=a$ .

La multiplicación está completamente determinada.

Ahora tenemos que comprobar que con estas operaciones sí tenemos un campo... No deberías tener problemas con eso :)

Answer 3

Pista: Dos de los elementos tienen que ser $0$ y $1$ y llamar a los demás $a$ y $b$ . Sabemos que el grupo multiplicativo es cíclico de orden $3$ (sólo hay un grupo para elegir), así que $a*a=b, b*b=a, a*b=1$ . Ahora sólo tienes que rellenar la tabla de sumas: ¿cuántas opciones hay para $1+a$ ? Entonces vea lo que satisface la distributividad y ya está.

Añadido: probablemente sea más fácil pensar en las opciones de $1+1$

Answer 4

HINT $\ $ Dicho campo sería una extensión cuadrática de su campo primo $\rm\:\mathbb F_2\:.\:$ Por lo tanto, basta con considerar $\rm\:\mathbb F_2[x]/(f(x))\:$ donde $\rm\:f(x)\:$ es un polinomio cuadrático irreducible sobre $\rm\:\mathbb F_2\:.\:$ Comprobar la irreductibilidad es trivial a través de la Prueba de raíz de paridad.