Necesito un "mini-crashcours" sobre el espacio de gérmenes de funciones continuas con el fin de resolver un ejercicio que requiere de mí para demostrar que los límites de este espacio no siempre son únicos.
Hemos introducido estos ad-hoc para ilustrar nonhausdorff espacios, así que no tengo ninguna intuición acerca de los gérmenes y estoy bastante frustrado porque no tengo una idea clara acerca de ellos en mi cabeza.
En nuestro análisis funcional supuesto, hemos definido el conjunto de gérmenes de funciones continuas a ser el $S/\sim$, donde $$S:=\{ u:U\rightarrow \mathbb{R}:A\subseteq U\subseteq\mathbb{R}^n\ \text{open},u\big|_{U}\ \text{continuous}\}$$ and $A\subseteq\mathbb{R}^n$ is some fixed, closed set; $\sim$ is the equivalence relation defined by $$u:U\rightarrow \mathbb{R} \sim v:V\rightarrow \mathbb{R} \Longleftrightarrow \exists W\subseteq\mathbb{R}^n:A\subseteq W, W \ \text{open}, \ W\subseteq(U\cap V),u\big|_W =v\big|_W.$$This set is endowed with the topology "generated by the final structure with respect to the collection of maps $(F_U)_U:C(U,\mathbb{R})\rightarrow S/\sim,\ f\mapsto [f]$."
En cuanto a las cosas en el "...":
1) En la que establece do la $U$ $(F_U)_U$ rango ? El conjunto de todos los conjuntos en $\mathbb{R}^n$ ?
2)Con lo que la topología es $C(U,\mathbb{R})$ dotado ? (Por razones personales preguntando al profesor, desafortunadamente, no es una opción) La topología de pointwise convergencia, es decir, el producto de la topología en $\prod_U \mathbb{R}$, restringido a las funciones continuas ?
El Ejercicio que tengo que resolver: Si $n=1$ $A=\{0\}$ tengo que mostrar los límites no son únicos.
Progreso hasta la fecha: Suponiendo que la respuesta a las preguntas anteriores es "sí", la constante de la secuencia de las clases de equivalencia de la constante de $0$ función en algunos fijos abierto $U$, $[v]$, obviamente converge en $S/\sim$$[v]$. Pero tengo una sugerencia que continua $u$ $u(0)=0$ $g_n(x):=u(x)h(nx)$ (donde$h(x):=1$$|x|\geq2$$h(x)=0$$|x|\leq 1$$n\in \mathbb{N}$), también tenemos que la secuencia de $([g_n])_n$ converge a $[v]$.
Pero, ¿cómo puedo probar la convergencia de $([g_n])_n$?
(Por favor tenga en cuenta, que tengo que probar esto "primaria", ya que no tengo ninguna teoremas a mi disposición que me digas qué tipo de convergencia de una estructura final induce...)
