Deje $C$ ser semisimple categoría con objetos simples,$X_1, \dots, X_r$.
Supongamos que tenemos una fusión relación $X_i\otimes X_j =\bigoplus_{l=1}^r N_{ij}^l X_l$.
Deje $m\in \mathbb{N}$ y deje $g:mX_j \to mX_j$ ser una de morfismos dado por $m$ $m$ matriz sobre un campo $k$.
El uso de la relación anterior, el álgebra $\mathrm{End}((X_i\otimes mX_j)\otimes X_l)=\mathrm{End}(X_i \otimes (mX_j \otimes X_l))$ es igual a $$\otimes_{s=1}^r \mathrm{Mat}_{mn_{s}}(k),$$ donde
$$n_s=\sum_{p=1}^rN_{ij}^p N_{pl}^s=\sum_{q=1}^r N_{iq}^s N_{jl}^q.$$
Quiero mostrar que en esta álgebra, tenemos
$$(\mathrm{id}_{X_i} \otimes g ) \otimes \mathrm{id}_{X_l}=\bigoplus_{p=1}^r \mathrm{id}_{N_{ij}^p} \otimes g \otimes \mathrm{id}_{N_{pl}^s}.$$
[Que la fórmula debe ser corregido; por ejemplo, $s$ es indefinido.]
No entiendo cómo morfismos son modificados por la fusión de la relación.
EDITAR Es realmente difícil de ver, pero en realidad $s$ está definido. El subíndice en $\otimes_{s=1}^r \mathrm{Mat}_{mn_{s}}(k)$$mn_{s}$.
