¿Es posible hacer círculo y una parábola en el plano para que su intersección consiste en exactamente dos puntos, un punto siendo un punto de tangencia y el otro punto una intersección transversal?
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Brian Deacon
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Deje que el círculo sea el círculo unidad, y tomar la parábola para tener la ecuación de $y-k=a(x-h)^2$,$a\neq 0$. Tenga en cuenta que la pendiente de la recta tangente a la parábola en $(x,y)$ está dado por $m = 2 a (x-h)$.
Deje $T(\cos\theta,\sin\theta)$ ser el punto de tangencia. (Podemos suponer que a lo largo de ese $\sin\theta \neq 0$, ya que el nuestro (es de suponer que no degenerada) parábola no tiene verticales tangentes. Tenga en cuenta también que los distintos puntos de intersección debe corresponder a distintos $x$ coordenadas.) Entonces, como $T$ debe satisfacer la ecuación de la parábola, tenemos $$\sin\theta - k = a ( \cos\theta - h )^2 \qquad (1)$$ Ahora, la línea tangente al círculo en $T$ necesariamente tiene pendiente $-\cot\theta$; equiparar esto con la pendiente relativa a la parábola da $$\cos\theta = -2 a \sin\theta (\cos\theta - h ) \qquad (2)$$
Podemos solucionar $(2)$$h$, y, a continuación,$(1)$$k$:
$$ h = \frac{\cos\theta \left( 1 + 2 \sin\theta \right)}{2a\sin\theta} \qquad k = \frac{ 4 \sin^3\theta \cos^2\theta }{4a\sin\theta^2}$$ donde la parábola de ecuación se convierte en
$$y \sin\theta = a x^2 \sin\theta - x \cos\theta \left( 1 + 2 a \sin\theta \right) + 1 + a \cos^2\theta \sin\theta $$
Utilizando la ecuación para eliminar la $y$ $x^2+y^2=1$ da esta ecuación polinómica en $x$:
$$\left( x - \cos\theta \right)^2 \left( \left (\left( x - \cos\theta \right)\sin\theta \cos\theta\right)^2 + \sin^2\theta \left( 1 + 2 \sin\theta \right)\right) = 0 \qquad (3) $$
Para el segundo factor de $(3)$ a tiene raíces requiere la cantidad de $b := 1+2a\sin\theta$ a no ser positivo. Si $b$ se desvanece, se obtiene el doble de la raíz de $x=-\cos\theta$ (el espejo de la imagen de $x=\cos\theta$) correspondiente a un segundo punto de círculo-parábola de tangencia. Para nosotros tiene un punto de no intersección de la tangente, se requieren $b$ a ser estrictamente negativo, y $x=\cos\theta$ a raíz de que el segundo factor. La última condición implica, por sustitución: $$2a\sin^3\theta=-1$$ dando a $b=-\cot^2\theta$, que es estrictamente negativo (y define) por $\theta \neq n \pi/2$. Por otra parte, la ecuación de $(3)$ reduce muy bien a $$0 = (x-\cos\theta)^3\left(x-4\cos^3\theta+3\cos\theta\right) = (x-\cos\theta)^3(x-\cos 3\theta)$$ proporcionar la raíz de $x=\cos3\theta$. De doble control con la parábola de ecuación, vemos que el correspondiente $y$ valor debe ser $-\sin3\theta$; por lo tanto, podemos escribir el segundo punto de intersección como $S(\cos(-3\theta), \sin(-3\theta))$.
El final de la parábola de ecuación en sí es $$ 2 y \sin^3\theta = - \left( x - \cos^3\theta \right)^2 + \sin^4\theta\left( 3 - \sin^2\theta \right)$$
He aquí una animación:
(Animación, intersticiales y símbolo-crujido, cortesía de Mathematica.)
Oli
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En primer lugar, gracias a Rahul Narain para encontrar un punto débil (también conocido como error) en una anterior respuesta de la mina.
Considerar el estándar de la parábola $y=x^2$, y el círculo $$(x+4)^2 +(y-7/2)^2 =125/4.$$ Sustituyendo $x^2$$y$, nos encontramos con que el resultado de la cuártica tiene una raíz triple a $x=1$, y una tercera raíz en $x=-3$. Así que la parábola y el círculo son tangentes a $(1,1)$.
Es fácil comprobar que de verdad tienen una raíz triple a $1$. El ejemplo fue encontrado en un intento de refutar Rahul Narain la objeción. De nuevo, gracias.
MonaLisaOverdrive
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31
Sólo en un sabor diferente. Deje que la parábola ser el estándar $Y=X^2$ (que siempre se puede asumir correctamente eligiendo las coordenadas).
Fijar un punto de $P$ en esta parábola.
Mediante el uso de complejos proyectivas de coordenadas, puede generar el sistema lineal de cónicas que son:
- tangente a la parábola en el $P$;
- pasando a través de la cíclico (incorrecto) puntos $(1,\imath,0)$, $(1,,-\imath,0)$;
Tal sistema lineal es generado por dos cónicas degeneradas (pares de líneas).
Cada una de las cónicas (aparte de degenerados) en este sistema lineal es un círculo. La condición de pasar a través de un arbitrarias punto en el plano, en particular, de un punto de la mentira en la parábola, toma uno.
Esto implica que para cualquier parábola y cualquier par de puntos distintos en ella hay una solución para el problema. Cálculos algebraicos son fáciles de
