Contar elementos de orden 2 en $\mathbb{Z}^{\times}_{n}$

Question

Euler totient función de $\varphi(n) = |\mathbb{Z}^{\times}_{n}|$ es incluso en $\mathbb{N}_{>2}$, por lo que es factible que el grupo $\mathbb{Z}_{n}^{\times}$ puede soportar un elemento de orden $2$. Si $n$ $4, p^{r}$ o $2 p^{r}$ por extraño prime $p$$r \geq 1$, $\mathbb{Z}_{n}^{\times}$ es cíclico y un elemento de orden 2 existe necesariamente si $\mathbb{Z}_{n}^{\times}$ es isomorfo al grupo de rotación de un $n$-gon. ¿Qué se puede decir acerca de la orden de 2 elementos en $\mathbb{Z}_{n}^{\times}$ general $n > 1$? Hacer que siempre existen? Si es así, ¿hay una manera de contar con ellas como una función de $n$?

Aquí es lo que yo entiendo. Por el Teorema del Resto Chino, si $n = p_{1}^{r_{1}} \cdots p_{s}^{r_{s}}$,$\mathbb{Z}^{\times}_{n} \simeq \mathbb{Z}^{\times}_{p_{1}^{r_{1}}} \times \cdots \times \mathbb{Z}^{\times}_{p_{s}^{r_s}}$. Así que para tener $\mathbb{Z}^{\times}_{2}$ como un subgrupo, $n$ tendría que ser de la forma $2m$ por extraño $m$.

Actualización 1 Sí, si $n > 2$$n$, incluso, de la orden de 2 elementos existir siempre por Cauchy Teorema (duh).

Actualización 2 parece que este no es un problema trivial. No hay una simple función de $n$ que cuenta la secuencia de $\{1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 7, \dots\}$ (A155828), que es el número de la no-identidad de orden 2 elementos en $\mathbb{Z}^{\times}_{n}$ como una función de la $n \geq 3$.

He utilizado el siguiente código de Mathematica para generar esta secuencia:

${\tt Tabla[Count[Tabla[Si[MCD[k, n] > 1, 0, Mod[k^2, n]], \{k, 2, n \}], 1], \{n, 3, 100\}]}$

Answer 1

% General $n$, el grupo $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ es el producto directo de $(\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z})^\times$ $n=\prod p_i^{k_i}$ Dónde está la facturización primera de $n$. Ya sabes cuántos elementos de orden $2$ allí están en cada uno de esos factores; ahora sólo cuenta en de cuántas maneras se puede elegir un elemento de orden 1 o 2 en cada factor, y tendrás el número de elementos de orden 2 en el grupo.

Answer 2

1. Si $n$ es una extraña energía primaria, a continuación, el grupo $\mathbb{Z}_n^{\times}$ es cíclico, es decir que tiene exactamente un elemento de orden $2$.

2. Si $n=2^k$, entonces el grupo $(Z_{2^k})^{\times}$ tiene:

   • No hay elementos de orden $2$ si $k=1$.
   • Uno de los elementos de orden $2$ si $k=2$.
   • Tres elementos de orden $2$ si $k\geq 3$: el grupo de unidades es isomorfo a $C_2\times C_{2^{a-2}}$. Los elementos de exponente $2$ son de la forma $(x,y)$ $x$ $y$ de exponente $2$ (dos posibilidades de cada uno); esto da $4$ elementos de exponente $2$, y la eliminación de la identidad tenemos tres elementos de orden $2$.

3. Si $n= 2^k p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ es una factorización prima de $n$, luego $$\mathbb{Z}_n^{\times} \cong \mathbb{Z}_{2^k}^{\times}\times\mathbb{Z}_{p_1^{a_1}}^{\times}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{p_r^{a_r}}^{\times}.$$ Un elemento $(a,b_1,\ldots,b_r)$ es de exponente $2$ si y sólo si cada coordenada es de exponente $2$. Hay $2$ de posibilidades para cada $b_i$, $1\leq i\leq r$, más el número de opciones, dependiendo de $k$. Tirar la identidad, obtenemos:

   • $2^r - 1$ elementos de orden $2$ si $0\leq k\leq 1$.
   • $2^{r+1}-1$ elementos de orden $2$ si $k=2$.
   • $2^{r+2}-1$ elementos de orden $2$ si $k=3$.

Ver la Secuencia de A060594 en la OEIS. Se da el número de soluciones a $x^2\equiv 1 \pmod{n}$, que es uno más que el número de elemento de orden $2$$\mathbb{Z}_n^{\times}$.

Answer 3

Para cualquier $n \geq 3$, el grupo general $\mathbb{Z}_n^{\times}$ tiene un elemento de orden 2, es decir, $-1$.

Answer 4

En general cualquier grupo finito $G$ de orden incluso tiene un elemento de orden 2 de Thm de Cauchy.

Answer 5

Con comentario de la Benoit Cloitre de esta secuencia (A060594) y restando $1$ para el elemento de identidad, debe ser que la secuencia se genera por la siguientes tres funciones $a(n) = 2^{\omega(n)-1} - 1$ si $n \equiv \pm 2 \mod 8$, $a(n) = 2^{\omega(n)} - 1$ si $n \equiv \pm 1, \pm 3, 4 \mod 8$ y $a(n) = 2^{\omega(n) + 1} - 1$ si $n$ es divisible por $8$, donde $\omega(n)$ es el número de divisores de $n$ prime.