Ejemplo de un conjunto compacto que no es el espectro de un operador

Question

Esta pregunta es una pregunta de seguimiento a esta última pregunta y la relativa a que uno.

Hay un fácil ejemplo de un (infinito-dimensional) espacio de Banach $X$ y no vacío, compacto $K \subset \mathbb{C}$ que no puede ser el espectro de un operador acotado $A: X \to X$?

Por supuesto, si $X$ contiene un infinito-dimensional espacio de Hilbert como una norma se complementa el subespacio y $\emptyset \neq K \subset \mathbb{C}$ es arbitraria conjunto compacto, a continuación, podemos producir un operador $A: X \to X$ tal que $\sigma(A) = K$.

Como Jonas Meyer señaló en su respuesta, el reciente descubrimiento de Argyros y Haydon resolver la larga escalar más compacto problema (ver Gowers la entrada del blog para algunos antecedentes) muestra que hay un espacio con la propiedad de que la única possbile espectros de operadores acotados son los contables y compacto subconjuntos de a $\mathbb{C}$ con más de un punto de acumulación. (Actualización: Jonas Meyer ha añadido más información y referencias a la literatura a su respuesta, voy a abstenerse de repetir esta información aquí, ya que no podía añadir nada de interés.) Pero estos ejemplos son definitivamente mucho más involucrado de lo que me gustaría ser. Si resulta que el ejemplo tiene que ser tan difícil, por alguna razón que se me escapa, me gustaría escuchar acerca de eso también.

Más optimista, uno se podría preguntar:

Hay clases conocidas de infinitas dimensiones de los espacios de Banach para el que no hay una caracterización de los subconjuntos compactos de $\mathbb{C}$ que pueden surgir como espectros de operadores acotados?

Una buena respuesta a esta optimista pregunta sería: La clase de tal-y-tal espacios de Banach tiene la propiedad de que sólo/precisamente la, digamos, totalmente desconectada compacto de subconjuntos de a $\mathbb{C}$ surgir como espectros de operadores acotados. Actualización: En vista de la pregunta en el título, por supuesto, estoy más interesado en las respuestas que excluir ciertos subconjuntos compactos de $\mathbb{C}$.

Actualización 2: me pidió un poco actualizada versión de esta pregunta en MathOverflow.

Answer 1

Jonas me pidió que añadir una respuesta para evitar que la recompensa se marchitan. Por desgracia, la pregunta sobre la MO no conducen a una respuesta concluyente hasta el momento. Sin embargo, Bill Johnson — un experto de renombre internacional en la teoría de espacios de Banach — izquierdo, los siguientes dos comentarios (cito):

1. Yo no soy consciente de que un ejemplo antes de Gowers-Maurey de un espacio de Banach tal que no todo subconjunto compacto de que el avión es el espectro de un operador en el espacio.
2. Para darse cuenta de que cada subconjunto compacto del plano como el espectro de algún operador en un espacio, es suficiente con que el espacio tiene un subespacio complementado con forma incondicional. Antes de Gowers-Maurey, no se conoce la existencia de espacios separables (tales como la Kalton-Peck trenzado suma de dos espacios de Hilbert) de tal manera que ningún subespacio complementado tiene forma incondicional.

A partir de comentario 1. Siento que es seguro concluir:

La cuestión no parece tener una simple respuesta positiva. Si, en lugar de sorprendentemente, pasar a tener uno, probablemente no ha sido encontrado o notado hasta ahora.

Permítanme indican rápidamente mis pensamientos en los comentarios de 2.

Primero de todo, el proyecto de Ley se refiere a las retorcidas suma de construcción introducido en el documento

MR0542869 (82g:46021) Kalton, N. J.; Peck, N. T., Trenzado sumas de secuencia de espacios y los tres problema de espacio. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 255 (1979), 1-30.

Ahora, como el proyecto de Ley de notas, una necesaria condición para $X$ a, posiblemente, de excluir a determinados conjuntos compactos como espectros es la ausencia de cualquier complementa infinito-dimensional subespacio de admisión incondicional de la base. Uno de los corolarios de Kalton-Peck trabajo (precisamente su corolario 6.9) es que el trenzado suma $Z_{p}$ dos $\ell^{p}$-espacios de $1 \lt p \lt \infty$ no admitir a un subespacio complementado. Como el papel por Kalton-Peck es muy writtan y se está haciendo tarde aquí, no me voy a entrar en detalles ahora.

Por lo tanto, $Z_{p}$ sería un posible candidato. Sin embargo, no es evidente para mí en absoluto para decidir si esta realidad se produce el deseado ejemplo o no. Permítanme mencionar que el Kalton-Peck de la construcción tiene una muy buena álgebra homológica interpretación en términos de la no trivialidad de Yoneda-Exts de los espacios de Banach y explícito construcciones mediante lo que ellos llaman cuasi-lineal de los mapas. Voy a elaborar en los próximos días, ya que yo aún la necesidad de revisar algunos detalles.

Estoy de aceptar esta respuesta para cerrar esta pregunta aquí y porque tengo pocas dudas de que esta pregunta será respondida por bastante poco. Si llegara a saber nada de interés, por favor deje un comentario aquí o en respuesta a la pregunta sobre MO. Cualquier entrada va a ser muy bienvenida, por supuesto.