Razón lógica para la intersección de una familia infinita de conjuntos abiertos no está necesariamente abierta

Question

Primero de todo, estar seguro de que he utilizado la herramienta de búsqueda y lectura ¿por Qué se requiere un espacio topológico a ser cerrado bajo finito intersección? y http://mathoverflow.net/questions/19152/why-is-a-topology-made-up-of-open-sets.

Estoy buscando un enfoque lógico sobre este tema. Entiendo intuitivamente las razones por las que una intersección de una infinidad de abrir conjuntos puede no ser abierto, pero sólo en el caso de una topología inducida por la métrica. En el sentido general, lo que podría ser un poco riguroso argumento? Siento que algunos contraejemplos no es suficiente para mí para entender profundamente los motivos. He leído en alguna parte que la intersección de una familia infinita de conjuntos está relacionado con un conjunto infinito, lo cual no está permitido en el habitual marco lógico utilizamos para las matemáticas. Es esta la cuestión? Podrías explicar con más detalle? Son infinitas las disyunciones permisible, entonces? Por último, si vamos a trabajar dentro de un infinitary lógica, sería este "problema" desaparecen, y por consecuencia, la construcción de la topología convertido en algo trivial, o menos rica e interesante?

Gracias.

Answer 1

Si ha definido arbitrarias intersecciones infinitas de sistemas abiertos para abrirse, entonces en cualquier espacio de Hausdorff, cada subconjunto sería abierta---lo que hace la definición completamente inútil. Al ver esto, observe que la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen un $x$ sería que el singleton set $\{x\}$---así todos los conjuntos de singleton sería abiertos. Pero, recordando que los sindicatos arbitrarios de conjuntos abiertos es abierta, cualquier conjunto de $X$ sería expresable como una Unión de singleton sistemas abiertos $X=\bigcup\{\{x\}:x\in X\}$.

Answer 2

Con respecto a sus puntos acerca de la lógica: hay una lógica llamada geométrica de la lógica en la que hemos finito conjunciones, infinitary disyunciones, cuantificación existencial, infinitary la distributividad, y el Frobenius axioma. Es más o menos la lógica de obtener su verdad-los valores son los bloques abiertos de un espacio topológico.

Geométrica de la lógica no es lo mismo, ya que incluso, dicen, intuitionistic la lógica de primer orden: hay teorías que pueden ser expresados en uno pero el otro no, por ejemplo, la teoría de anillos con nilpotent elementos geométricos, pero no de primer orden. Me temo que esto en realidad no responder a su pregunta, aunque estos hechos fueron descubiertos después de que los axiomas de la topología fueron establecidas.

Answer 3

No estoy seguro de lo que quieres decir por una razón lógica, pero tal vez el siguiente es útil. Básicamente me voy a sugerir que es de sentido común si queremos pensar acerca de los límites; de lo contrario nos especie de fuerza que cualquier espacio a puntos aislados o infinitesimalmente cerca de los elementos.

Queremos de alguna manera para capturar la idea de cercanía, sin tener que referirse a distancia. Imagine que usted quiere ser capaz de hablar de una secuencia de puntos de $(p_0, p_1, ...)$ $X$ acercando a un punto de $x \in X$. La intuición es algo así como que, para cualquier conjunto de puntos, que es una colección de puntos "casi" $x$ que recogemos, esperamos que nuestros secuencia para, finalmente, entrar en esta colección y permanecer en él. Es decir, queremos hablar de algunos de la familia de los "barrios" (zonas cercanas) de $x$, y queremos decir que para cualquier barrio de $x$, la secuencia, finalmente, se queda en ella.

Ahora, supongamos que requieren que cada arbitraria de la intersección de los barrios de $x$ todavía ser considerado como un barrio de $x$. Entonces hay dos posibilidades. Una posibilidad es que podemos tomar algunos de intersección y obtenga $\{ x\}$ como un barrio. En este caso, no de la secuencia de otros elementos que pueden converger a $x$. La segunda posibilidad es que debe haber una clara a punto de $y\neq x$ tal que $y\in U$ por cada vecindario $U$ $x$ (porque hasta la intersección sobre todos los barrios de $x$ no es sólo ${ x}$). En este caso, si queremos seguir pensando en un barrio como una colección de cerca de lugares, estamos esencialmente en la visualización de $y$ como infinitamente cercana a $x$.

Así que, ya que a veces se quiere evitar infinitesimalmente cerca de los elementos (es decir, indistinguible por la topología) y puntos aislados, no deberíamos exigir que cada intersección arbitraria todavía ser considerado como un barrio.