Es la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^\alpha}$ , para $\alpha>0$ ¿convergente?

Question

He hecho el siguiente ejercicio:

Es la serie $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\cos(nx)}{n^\alpha}$ , para $\alpha>0$ ¿convergente?

Mi enfoque:

Vamos a utilizar el criterio de Dirichlet para la convergencia de las series. Sea $\displaystyle\ \{a_n\}=\frac{1}{n^{\alpha}}$ y $\{b_n\}=\cos(nx)$ .

Vemos que $\{a_n\}$ es decreciente y tiene límite $0$ . Tenemos que ver ahora que $$\sup_{N}{\left| \sum_{n=1}^{N}{\cos(nx)} \right|}<\infty.$$

$$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}e^{inx}=\sum_{n=0}^{N}(e^{ix})^{n}= \frac{1-e^{ix(n+1)}}{1-e^{ix}}, \text{if x} \neq 2k\pi. $$

Así que $${\left| \sum_{n=0}^{N}{\cos(nx)} \right|}={\left| \Re\left(\sum_{n=0}^{N}{e^{inx}}\right) \right|}={\left| \Re\left(\frac{1-e^{ix(N+1)}}{1-e^{ix}}\right) \right|} \leq {\left| \frac{1-e^{ix(N+1)}}{1-e^{ix}} \right|}\leq {\frac{\left|1\right|+\left| e^{i(N+1)x} \right|}{\left|1-e^{{ix}} \right|}}=\frac{2}{\left|1-e^{{ix}} \right|}.$$

Entonces, por Dirichlet, si $x\neq 2k\pi$ la serie es convergente.

¿Qué pasa si $x= 2k\pi$ ?

$$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\cos(n(2k\pi))}{n^\alpha}=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^\alpha}$$

y sabemos que esta serie converge cuando $\alpha>1$ y diverge si $\alpha\leq 1$ .

¿He cometido algún error? ¿Es correcto mi planteamiento? Gracias.

Answer 1

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