Nueve lema en categorías trianguladas

Question

Tengo curiosidad de saber si algo así como el Nueve Lema (http://en.wikipedia.org/wiki/Nine_lemma) es verdadera en un arbitrario trianguladas categoría. Para ser más explícitos, supongamos que tengo un mapa de cofiber secuencias/distinguidos triángulos y me tome la cofiber/asignación de cono en cada etapa vertical (esto le da un diagrama como el diagrama en el enlace de wikipedia sin los ceros) entonces es la fila inferior de un cofiber secuencia/distinguidos triángulo?

Estoy particularmente interesado en la categoría de los espectros que si hace las cosas más fáciles o más difíciles.

También, si el resultado no es cierto en general, ¿qué sucede cuando uno de los mapas que acaban de tomar la cofiber es el mapa de identidad?

Me siento como esto debe ser cierto, pero yo no veo nada en las dos referencias que he comprobado y no estoy seguro de cómo hacer que nos de verdier/octaédrico axioma.

gracias por su tiempo.

Answer 1

Sí, una versión de la misma es verdadera (sin embargo, no creo que se puede hacer con cualquier morfismos de distinguidos triángulos - desde el mapa de los conos no es única).

La declaración que quiero saber es:

Cada conmutativa de la plaza se encuentra dentro de una $4 \times 4$-diagrama de cuyas filas y columnas se distinguen de los triángulos, $8$ plazas de viaje y uno de los cuadrados es signo conmutativa.

Esto se llama "Verdier del ejercicio" en el folclore y puede ser encontrado en Bernstein-Beilinson-Deligne, faisceaux pervers, la Proposición 1.1.11.

Usted también puede encontrar una prueba de como Lema 2.6 en Mayo, La aditividad de las trazas en el tensor de categorías trianguladas, disponible aquí.

Si quieres demostrar a ti mismo, aquí está un resumen: comienza con una conmutativa plaza de $ABA'B'$ y dibujar la diagonal $A \to B'$. Construir octaedros en los dos subsiguientes conmutativa triángulos. Sólo el uso de estos octaedros, entonces usted será capaz de construir un diagrama de la forma

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> B @>>> C @>>> A[1]\\ @VVV @VVV @VVV @VVV\\ A' @>>> B' @>>> C' @>>> A'[1]\\ @VVV @VVV\\ A'' @>>> B''\\ @VVV @VVV\\ A[1] @>>> B[1] \end{CD}$$

Los morfismos $C \to C'$ será una composición de dos morfismos y construir otro octaedro y completar el diagrama. Usted tendrá que girar un triángulo y esa es la razón para que un signo conmutatividad que ocurren en la parte inferior derecha de la plaza.