Continuidad de $d(x,A)$

Question

Estoy haciendo una cabeza-marque aquí. No dejo de ver este teorema citado requieren $A$ a ser cerrada (como la función Es continua a distancia?), pero no creo que sea necesario.

Teorema. Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $\emptyset \neq A\subseteq X$. A continuación, $x \longmapsto d(x,A)$ es Lipschitz continua.

Prueba. Fix $x,y \in X$. Tomamos nota de que, por cualquier $a \in A$ tenemos $d(x,a) \leq d(x,y) + d(y,a)$. Tomando el infimum $a \in A$ da $d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,A)$. De ello se deduce rápidamente que $$ |d(x,A)-d(y,a)| \leq d(x,y) $$ y el reclamo está probado.

He utilizado accidentalmente closedness de $A$ en algún lugar de mi prueba? Creo que no es necesario. Tal vez la razón por la que generalmente se menciona con $A$ cerrado es así que hay un $a \in A$$d(x,A) = d(x,a)$? (Como @Martin señala, esto también requiere de cierta compacidad de la asunción en la unidad de pelota, por ejemplo, se sostiene si $X=\mathbb{R}^n$ con la métrica Euclidiana)

Answer 1

Resumiendo los comentarios y ampliar ligeramente:

Sí, su argumento es perfectamente bien tal y como está y no hacer ningún uso oculto de closedness de $A$ en cualquier parte, no sólo el vacío de $A$ es usado para asegurar que los $d(\cdot,A)$ es un valor real de la función.

Un buen ejercicio sería mostrar que $1$ es la mejor constante de Lipschitz (a menos $A$ es denso en $X$ donde $d(\cdot,A) = 0$).

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Por qué la gente a menudo el estado de este resultado para cerró $A$ sólo está claro para mí, pero estoy de acuerdo en que es bastante común hacer esta suposición innecesaria. Véase, por ejemplo, esta pregunta o esta pregunta para ver más ejemplos. Las respuestas señalan más o menos explícita, de que esto no es necesario.

Podría ser que la razón está relacionada con el hecho de que usted menciona---que el infimum es de un mínimo de subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^n$, o, más generalmente, en la métrica de espacios para que cerró bolas son compactos. Otra posible "razón" podría ser que $\overline{A} = \{x \in X \mid d(x,A) = 0\}$, lo que muestra que un cerrado set $A$ pueden ser recuperados a partir de la cero-set de $d(\cdot,A)$.