El núcleo en integral de la trayectoria para transformar la función de onda (Ec. 3.42 en Feynman y Hibbs, Mecánica cuántica e integrales de trayectoria, edición corregida):
$$\psi(x_b,t_b)=\int_{-\infty}^\infty K(x_b,t_b;x_c,t_c)\psi(x_c,t_c)dx_c$$
parece equivalente al para transformar la integral :
$$(Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt$$
Sin embargo, el tabla de transformaciones no tiene ninguna "transformación de Feynman". ¿Qué es exactamente en matemáticas?
Para un sistema cuántico dado, el núcleo de la integral de trayectoria es, de hecho, el núcleo de una transformada integral como la que escribes explícitamente. Es la transformada que gobierna la evolución temporal del sistema como se manifiesta en tu primera ecuación. Por esta razón, a menudo se la denomina propagador de un sistema determinado.
Por ejemplo, para una sola partícula no relativista que se mueve en alguna porción de la línea real con un Hamiltoniano constante (y por lo tanto evolución unitaria), el operador kernal y el operador unitario de evolución en el tiempo están relacionados como sigue: \begin {align} K(x,t; x', t') = \langle x|U(t,t')|x' \rangle. \end {align} Los núcleos para distintos sistemas cuánticos serán, en general, diferentes, porque estos sistemas tienen diferentes hamiltonianos y, por tanto, diferentes comportamientos bajo la evolución del tiempo. Esto contrasta con, por ejemplo, las transformadas de Fourier y de Laplace, cuyos núcleos son siempre los mismos (hasta las molestas convenciones, por supuesto).
Por ejemplo, el núcleo para una partícula libre masiva y no relativista que se mueve en la línea real es \begin {align} K(x_b t_b; x_a, t_a) = \left [ \frac {2 \pi i \hbar (t_b-t_a)}{m} \right ]^{-1/2} \exp\frac {im(x_b-x_a)^2}{2 \hbar (t_b-t_a)} \end {alinear} y podrías buscar los núcleos de otros sistemas (como el oscilador armónico).
El punto principal. Hay una "transformada de Feynman" diferente, como tú dices, para cada sistema cuántico. Por eso no encontrarás una sola en una tabla de transformaciones matemáticas con ese nombre. Sin embargo, esto plantea otra cuestión interesante: ¿existe una tabla de núcleos conocidos para varios sistemas cuánticos en algún lugar? A mí me interesaría saberlo.
Más información sobre núcleos específicos y algunas generalizaciones aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Propagator
@Ooker Claro que sí. Hmm, ¿has mirado la sección de la wiki sobre propagadores que trata de su relevancia en la QFT relativista? No estaría del todo de acuerdo en que no usemos los kernels en ese contexto por ejemplo, salvo que su uso e interpretación allí es ligeramente diferente.
Sí, lo he hecho. Lo digo porque no veo el núcleo K, sino sólo el propagador G. Por supuesto, se puede decir que podemos obtener K a partir de G, pero no he conocido ese caso (aún no he terminado el libro de Feynman).
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@Qmechanic, ¿por qué necesitas añadir la pregunta al principio?
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El cuerpo de una pregunta debe entenderse por sí mismo, sin ver el título o las etiquetas. Por ejemplo, un lector de RSS puede mostrar sólo el cuerpo de la pregunta, no el título.
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@DavidZ: ¿es así? Todas mis suscripciones RSS muestran el título y parte del cuerpo.
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Su El lector de RSS muestra el título; eso no significa que cada El lector de RSS lo hace. En cualquier caso, sólo ofrecí ese ejemplo hipotético para ayudar a justificar la regla, pero la regla se sostiene por sí misma: el cuerpo de una pregunta debe entenderse sin el título o las etiquetas. En realidad, no importa si alguno de nosotros puede nombrar un lector de RSS que no muestre el título.