Axioma de la opción esque argumento para mostrar que existe una prueba de una declaración sin dar realmente una prueba

Question

¿Qué pasa si el conjunto de todos los bien formados declaraciones en ZFC formado una especie de pseudo-categoría donde una de morfismos f entre los objetos a, B, representa una prueba formal de que Un implícita B? Lo que si que categoría podría ser interpretado como un extraño espacio topológico, y se ha demostrado ser un discontinuo de la unión de especial ruta de acceso conectado subespacios?

Conectado subespacios no son ordinarios, en que muchos caminos de una sentencia dada a otro no son reversibles. Entonces alguien demuestra que desde dos declaraciones (por ejemplo, Hipótesis de Riemann y algunas otras demostrado la conjetura) están en la misma conectado subespacio, no sale de una de morfismos (es decir, una correcta prueba formal) de la Hipótesis de Riemann.

Nadie está más cerca de demostrar RH, pero hay algunos axioma de elección-esque argumento de que es una prueba de que existe.

Haría todo el mundo acepta que la Hipótesis de Riemann es cierta? Es un enfoque, para mostrar las pruebas existen, sin dar una prueba real, viable?

Answer 1

La estructura que está hablando es el álgebra de Lindenbaum de ZFC. De hecho, es el caso que, si $R$ es la hipótesis de Riemann, y se puede mostrar que el $R \leq \top$ en que el álgebra (siguiendo la convención donde $\top$ es el menor elemento y corresponde a los teoremas demostrable en ZFC), a continuación, $R$ es demostrable en ZFC.

La mayoría de los matemáticos, sin embargo, sólo están interesados en la cuestión de si $R$ es cierto, no se si es demostrable en ZFC. Así que si usted demostró que era demostrable en ZFC, incluso si de alguna manera evitar que demuestra una ZFC-prueba, que todavía sería justificación suficiente para la aceptación de $R$, debido a que provability en ZFC es suficiente para establecer la verdad de un resultado en las matemáticas.

Como un ejemplo similar, el original del comprobante de Último Teorema de Fermat utiliza los lemas de la geometría algebraica que no fueron probadas en ZFC, a pesar de que fue ampliamente sospecha de que la prueba podría ser simplificado. Colin McLarty, un lógico, ha anunciado recientemente que suficiente versiones de estos lemas son demostrable en ZFC, por lo que en principio no es un ZFC-la prueba de la FLT, pero nadie tiene todo escrito en su totalidad. Sin embargo, el original publicado prueba de la solución, que utiliza las técnicas más allá de ZFC, es completamente aceptado por el número de teóricos.

Answer 2

Usted podría estar interesado en Noson Yanofsky del papel. En la página 17 de este documento se analiza el trabajo de R. Parikh papel Existencia y viabilidad en la aritmética que apareció en la Revista de la Lógica Simbólica: volumen 36, pp 494-508 en 1971. No he leído el último papel, pero Yanofsky del papel es fácil de leer.

En Yanofsky de papel, él habla de las declaraciones, con las pruebas, pero con corta pruebas de que las declaraciones son demostrables.