Circunvolución de medidas

Question

Decimos que una familia de medidas $\mu_{t}\to \mu$ débil si fuera por cualquier $g\in C_{0}$, $\int g d\mu_{t} \to \int g d\mu$. Demostrar eso si $\mu_{t}\to \mu$ débil, entonces el $\nu*\mu_{t}\to \nu*\mu$ débil, donde $\nu*\mu$ denota la convolución de la % de medidas $\mu$y $\nu$.

Answer 1

Si las medidas son finitas, entonces para el $g\in C_0$ % da de la convergencia débil $$\int g(x)\,(\nu*\mu_t)(dx)=\int\int g(x+y)\,\mu_t(dy)\,\nu(dx).$ $x$$para cada $\mu_t\to \mu$,
$$\int g(x+y)\,\mu_t(dy)\to \int g(x+y)\,\mu(dy).$ $ Entonces por el teorema de convergencia dominada,
$$\int\int g(x+y)\,\mu_t(dy)\,\nu(dx)\to\int\int g(x+y)\,\mu(dy)\,\nu(dx).$ $ Por definición, se trata de la convergencia débil $\nu*\mu_t\to \nu*\mu$.