Caracterización intrínseca de una estrella en forma de dominio

Question

Dejar que Un ser cerrado (compact no hay límite), incrustado (no auto intersecciones), la superficie lisa de R^3. Nos dice que en el interior de Una estrella en forma de si existe un punto p en a, tal que para cualquier punto p en A, el segmento de la línea de unirse a p y q se encuentra en su totalidad dentro de A. Mi pregunta es esta:

Vamos a (S^2,g) ser la esfera con un suave métrica de Riemann (no puede ser el de curvatura constante de uno), y supongamos que existe un suave isométrica de la incrustación de f: S^2 -> R^3. ¿Existe una condición en la curvatura de Gauss de g que garantiza el interior de f(S^2) (la imagen de S^2 en el apartado f) es en forma de estrella?

Answer 1

La curvatura positiva de Gauss ciertamente basta, según el teorema de Cohn-Vossen, que implica que la superficie empotrada es convexa. Más allá de eso, no soy consciente de ninguna otra caracterización intrínseca del límite de un dominio en forma de estrella. Suena bastante difícil para mí, ya que ni la existencia ni la singularidad de la incrustación isométrica se conoce, si la curvatura no es en todas partes no negativo (positivo?).

Answer 2

Esto parece muy relacionada con la de Minkowski problema, y su opuesto, que se puede leer en este bonito encuesta por Herman Gluck.

Voy a ver si puedo encontrar los resultados más recientes y las publicaremos aquí.

No he leído este libro por Alexandrov, pero debería ser informativo, así: Geometría Intrínseca de Superficies Convexas

Answer 3

Aquí está un ejemplo de una esfera lisa en R^3 que no es en forma de estrella, y de tal manera que ambos positivos y negativos cuvature partes están conectadas. Tomar en R^3 una fina rotación invariante en el toro. Su positivo y negativo de la curvatura de las piezas son largos y delgados anillos. Ahora cortar una mitad de ella por un avión pasando por el eje de rotación. Tomar uno de los halthes (un largo, fino y curvado de tubo) y la copa a sus dos pequeños agujeros con dos medias esferas, de modo que se obtiene una especie de plátano. Esto se puede hacer de una manera suave, de modo que la parte positiva de la curvatura de la parte conectada.