¿Cuándo esta suma de coeficientes combinatorios es igual a cero?

Question

$p>2$ es un número primo, $n\in \mathbb{N}$ . ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Gracias.

$$\sum_{i=0}^{\lfloor n/p\rfloor}(-1)^i {n\choose ip}=0$$ si $n=(2k-1)p$ para algunos $k\in \mathbb{N}$ .

Answer 1

Dejemos que $\omega=\exp\left(\frac{2\pi i}{p}\right)$ . Desde $f(n)=\frac{1}{p}\left(1+\omega^n+\ldots+\omega^{(p-1)n}\right)$ es igual a uno si $n\equiv 0\pmod{p}$ y cero en caso contrario, tenemos:

$$S(n)=\sum_{i\equiv 0\pmod{p}}\binom{n}{i}(-1)^i=\frac{(1-1)^n+(1-\omega)^n+\ldots+(1-\omega^{p-1})^n}{p}\tag{1}$$ así que $p\cdot S(n)$ es la suma de los $n$ -potencias de las raíces de $q(x)=1-(1-x)^p$ .

Suponiendo que $M$ es la matriz compañera de $q(x)$ se deduce que: $$S(n) = \frac{1}{p}\cdot\text{Tr}(M^n)=\frac{1}{p}\,\text{Tr}\,\begin{pmatrix}1 & -1 & 0&0&\ldots\\0 & 1 & -1 & 0 & \ldots\\\vdots & 0 & \ddots &\ddots&\vdots\\0&\ldots&\ldots&1&-1\\-1&0&\ldots&\ldots&1\end{pmatrix}^n. \tag{2}$$ Por el teorema de Cayley-Hamilton, $\{S(n)\}_{n\geq 0}$ es una secuencia lineal recurrente con el mismo polinomio característico de $M$ es decir $1-(1-x)^p$ . Por otro lado, $(1)$ da que $S(n)$ no puede ser cero si $n\not\equiv 0\pmod{p}$ y..: $$\begin{eqnarray*} S(mp)&=&\frac{(1-\omega)^{mp}+\ldots+(1-\omega^{p-1})^{mp}}{p}\\&=&\frac{1}{p}\sum_{x\in Z}(1-x)^{mp}=\frac{1}{p}\sum_{x\in Z}\sum_{k=0}^{m}\binom{mp}{kp}(-x)^{kp}\\&=&\sum_{k=0}^{m}\binom{mp}{kp}(-1)^{kp}\tag{3}\end{eqnarray*}$$ Ahora bien, no es difícil demostrar la sólo si parte de la declaración.

Answer 2

Esto es sólo la parte del IF. Obtenemos

\begin {align*} \sum_ {i=0}^{2k-1} (-1)^i {[2k-1]p \choose ip} &= \sum_ {i=1}^{2k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ \sum_ {i=k+1}^{2k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{k+i-1} {[2k-1]p \choose (k+i-1)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ \sum_ {j=-k}^{-1} (-1)^{k-j-1} {[2k-1]p \choose (k-j-1)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ \sum_ {j=1}^{k} (-1)^{2k-j} {[2k-1]p \choose (2k-j)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ (-1)^{2k-i} {[2k-1]p \choose (2k-i)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ (-1)^{2k-i} {[2k-1]p \choose (2k-1-(2k-i))p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} (-1)^{i-1} {[2k-1]p \choose (i-1)p}+ (-1)^{2k-i} {[2k-1]p \choose (i-1)p} \\ &= \sum_ {i=1}^{k} 0 = 0 \end {align*}

Lo que pasó:

• Primer paso: Aumentamos todos los índices en 1, por lo tanto, tenemos que reducir los $i$ s en la fórmula por 1.
• Segundo paso: Dividir la suma en dos partes.
• Tercer paso: Disminuimos todos los índices de la segunda suma en $k$ Por lo tanto, tenemos que aumentar $i$ s en la fórmula por $k$ .
• Cuarto paso: Negar los índices de la segunda suma.
• Quinto paso: Aumentamos todos los índices de la segunda suma en $k+1$ Por lo tanto, tenemos que reducir el $i$ s en la fórmula por $k+1$ .
• Sexto paso: Escribe la suma como un solo sumatorio.
• Séptimo y octavo paso: Propiedades del binomio.
• Noveno paso: $i-1$ y $2k-i$ tienen una paridad diferente ya que difieren $2k-2i+1$ . Por lo tanto, los términos tienen signos opuestos y la suma es igual a 0.