Supongamos que$1<p<\infty$,$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. ¿Cómo puedo ver$\mathcal{F}^{-1}g \in L^p(\mathbb{R})$ como una condición en la decadencia de$g$ en el infinito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Kirill Shtengel
Puntos
21
Supongo que $g$ es localmente integrable función. A continuación, $\mathcal F^{-1}\in L^p$ implica la siguiente descomposición de la propiedad: para cada $h>0$, $$ \frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h} g(t)\,dt \0 \quad \text{como } \ x\to\infty $$ Prueba: $\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h} g(t)\,dt$ es la convolución de $g$$\phi=(2h)^{-1}\chi_{[-h,h]}$. La función de $\mathcal F^{-1}\phi$ no es integrable (es una función de sinc), pero es en $L^q$ por cada $q>1$. Por Hölder la desigualdad $$(\mathcal F^{-1}g)(\mathcal F^{-1}\phi)\in L^1$$ La aplicación de $\mathcal F$, nos encontramos con que $g*\phi$ es continua y se desvanece en el infinito.
No podría ser más que decir si teníamos un límite superior $p\le p_0<\infty$, lo que permitiría considerar algo más singular, como Riesz potenciales de $g$.
