Solución de álgebra lineal cuando el determinante es cero

Question

Me estoy haciendo preguntas de práctica en mi libro y me encontré con esta pregunta de Verdadero/Falso:

Si $\det(A) = 0$, entonces el sistema lineal $Ax=b$, $b\neq 0$, no tiene solución.

El libro está diciendo que la respuesta es falsa. Pero ¿por qué? Pensé que la respuesta es la verdadera causa de algo como esto

$ Ax = b$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)$$

Cuando una matriz tiene su rref tomado, la matriz resultante, cuando el determinante es cero, siempre tendría un cero en su diagonal, a la derecha? Este sería el resultado en una matriz con ninguna solución porque la fila 2 es imposible. Soy la incomprensión de la pregunta de alguna manera? Yo también estoy confundido por esta pregunta porque no estoy seguro de cómo aumentada matrices de trabajar con matrices cuadradas, ya que sólo puede encontrar el determinante de una matriz cuadrada. Por favor alguien puede explicar por qué la respuesta es falsa?

Answer 1

La afirmación no es cierta. Para que pueda ser cierto, tendría que ser cierto para cualquier combinación de $A$ y $b$ donde $\det(A)=0$ y $b\neq 0$, pero es no es el caso, desde la ecuación

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ $ claramente tiene una solución

Answer 2

En tu ejemplo, si eliges $b$ igual a una de las columnas de $A$, entonces el sistema $Ax=b$ es soluble.

Si $\det(A)=0$ luego el sistema $Ax=b$ nunca es únicamente soluble, sin embargo. Para que tengas las alternativas: no hay solución o muchas soluciones (depende el campo subyacente).

Answer 3

Excepto los casos ya mencionados, donde tuvimos una línea llena con ceros en la matriz completa, no necesita tener una línea de cero $\textrm{det}(A)=0$. Sólo toma los casos donde una línea es un múltiplo de la otra, por ejemplo: $$ \begin{bmatrix}a & b\\ka&kb\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\kc\end{bmatrix} $ $ es un sistema que tiene $\textrm{det}(A)=0$ y también tiene infinitas soluciones largo $a$ y $b$ no son dos ceros (excepto en el caso de $c$ también es cero).

Answer 4

Si $\det A=0$, entonces ciertamente hay vectores que $b$ $Ax=b$ no tiene una solución.

Pero, también hay valores de $b$ que tiene una solución. Decir $a$ es un vector arbitrario y $b=Aa$. Entonces claramente el sistema $Aa=b$ posee al menos una solución, es decir, $x=a$.