El conjunto de todas las matrices con rango $n-1$ es una hipersuperficie.

Question

Demostrar que el conjunto $M$ de $n\times n$ matrices con rango $n-1$ es una hipersuperficie en $\mathbb{R}^{n²}$ y encontrar el espacio tangente en $A=(a_{ij})$ donde $a_{ij}=\begin{cases} \delta_{ij} \ \text{if} \ (i,j)\neq(n,n) \\ 0 \ \ \ \text{if} \ (i,j)=(n,n) \end{cases}$

El profesor dejó este problema junto con otros para estudiar para el examen (un curso de posgrado de cálculo multivariable). Si encuentro una función $f:\mathbb{R}^{n²} \rightarrow \mathbb{R}\in C^1$ tal que $M=f^{-1}(c)$ y $grad \ f(x)\neq 0 \ (\forall x;f(x)=c$ ) hacer el problema se convierte en un mero cómputo pero no encuentro dicha función. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

Consideremos la función determinante $\det\colon \mathbb{R}^{n\times n} \to \mathbb{R}$ . Afirmo que un $n\times n$ matriz $A$ tiene rango $n-1$ si y sólo si

1. $\det(A) = 0$ y

2. $A$ es un punto regular de $\det$ .

De ello se deduce que el conjunto de tales matrices es una hipersuperficie lisa.

Para demostrarlo, supongamos primero que $A$ tiene rango $n-1$ . Dejemos que $B$ sea una matriz no singular cuyas entradas son iguales a $A$ excepto una fila. A continuación, $$ \frac{d}{dt}\biggl[\det\bigl((1-t)A+tB\bigr)\biggr] \;=\; \frac{d}{dt}\biggl[(1-t)\det A + t \det B\biggr] \;=\; \frac{d}{dt}\biggl[t \det B\biggr] \;=\; \det B \;\ne\;0 $$ lo que demuestra que la derivada direccional de $\det$ es distinto de cero en la dirección de $B-A$ . (En el primer paso de la ecuación anterior, hemos utilizado el hecho de que el determinante es lineal con respecto a cada fila de una matriz).

Para la inversa, supongamos que $A$ tiene un rango inferior a $n-1$ . Entonces cada colección de $n-1$ filas en $A$ son linealmente dependientes, por lo que el determinante de $A$ sigue siendo $0$ si cambiamos cualquier entrada de $A$ . De ello se desprende que todos los $n^2$ derivadas parciales de $\det$ son cero en $A$ Así que $A$ es un punto crítico para $\det$ .

Por último, el espacio tangente a $M$ en la matriz dada consiste en todas las matrices $B=(b_{ij})$ para lo cual $b_{nn}=0$ ya que el cambio de $b_{nn}$ hace que la matriz no sea singular, pero el cambio de cualquier otra entrada de la matriz no afecta al determinante.

Answer 2

Halmos siempre decía que para entender algo del álgebra lineal hay que mirar un $2\times 2$ matriz. Así pues, dejemos que $n=2$ por ahora. Deja que $f$ sea la función determinante.

Dejemos que $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}$ sean matrices. Entonces $$\begin{split} df_A(X) &= \left.\frac{d}{dt}\det(A + tX)\right|_{t=0} \\ &= \left.\frac{d}{dt}\left((a_{11} + tx_{11})(a_{22} + tx_{22}) - (a_{12}+tx_{12})(a_{21}+tx_{21})\right)\right|_{t=0} \\ &= a_{11} x_{22} + a_{22} x_{11} - a_{12} x_{21} - a_{21} x_{12} \end{split}$$ Esto es igual a $\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A)X))$ , donde $\operatorname{adj}(A)$ es el matriz adjunta de $A$ : $$ \operatorname{adj}\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} $$

Afirmamos que si $A$ está en $M$ (es decir $\operatorname{rank}(A) =1$ ), entonces $df_A$ no es el mapa cero. En efecto, dejemos que $X=\operatorname{adj}(A^T)$ . Entonces $$ \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A)X) = \operatorname{tr}\left(\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11}\end{pmatrix}\right) = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{21}^2 + a_{22}^2 $$ La única manera de que esto sea cero es si $A$ es la matriz cero, que, como tiene rango uno, no lo es. Esto muestra $M$ es una hipersuperficie. No está cerrada, porque el cierre contendría la matriz cero, un punto singular.

Ahora dejemos que $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . El espacio tangente a $M$ en $A$ es el núcleo de $df_A$ . Si $X$ es cualquier $2\times 2$ matriz, $$ df_A(X) = \operatorname{tr}\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}\right) = \operatorname{tr}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix} = x_{22} $$ Así que el espacio tangente a $A$ es el conjunto de matrices con la entrada inferior derecha cero. Se extiende por $$ \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\} $$

Si se leen las páginas de la wikipedia sobre Adjunta y Determinante verás cómo este argumento se generaliza a matrices más grandes. La derivada del mapa de determinantes es la misma. Si $A$ tiene rango $n-1$ puedes cocinar una matriz $X$ tal que $df_A(X)$ es la suma de los cuadrados de los $(n-1)\times(n-1)$ menores de $A$ que no puede ser cero. En el caso del $A$ no debería ser muy difícil de calcular $df_A(X)$ en términos de las entradas de $X$ y encontrar una base para su núcleo.

Answer 3

Llame a $H \subset \mathbb{R}^{n^2}$ el conjunto de matrices de rango $n-1$ . Entonces la matriz $A$ de la OP pertenece a $H$ (obvio). Afirmo que hay un barrio $U \subset \mathbb{R}^{n^2}$ de $A$ tal que $U \cap H$ es una hipersuperficie lisa. Para ver esto dejemos que $U$ para ser el subconjunto de matrices tal que el menor $P$ dado por el primer $n-1$ filas y $n-1$ columnas es diferente de cero. Entonces queda claro que $U$ está abierto y $A \in U$ . Consideremos ahora la restricción $f_U$ a $U$ de la función $f(X):= \det(X)$ . Dado que el menor $P$ no es cero no es difícil comprobar que el rango de la diferencial $df$ es 1 en el conjunto $U$ . Así que la preimagen $f_U^{-1}(0) = U \cap H$ es una hipersuperficie debido al teorema de la función implícita. Para demostrar que $H$ es una hipersuperficie en cualquier miembro $B \in H$ sólo recuerda que si $B$ tiene rango $n-1$ entonces hay dos matrices invertibles $n \times n$ , digamos que $R,L$ , de tal manera que $B = R A L$ . Entonces el mapa $X \to R X L$ es un difeomorfismo de $\mathbb{R}^{n^2}$ que preserva $H$ y tomar el barrio $U$ de $A$ , donde $H \cap U$ es una hipersuperficie, a una vecindad de $B$ . Así que $H$ es también una hipersuperficie cerca de $B$ . Así, $H$ es efectivamente una hipersuperficie lisa de $\mathbb{R}^{n^2}$ . El espacio tangente $T_A H$ puede calcularse utilizando la fórmula de la derivada del determinante. Es decir, si $A(t)=(a_{ij}(t))$ es una curva suave en $H$ a través de $A$ en $t=0$ tenemos $$\frac{d }{dt}\det A(t)|_{t=0} = \frac{d}{dt} a_{nn}(t)|_{t=0} = 0$$ Entonces el espacio tangente en $A$ es el conjunto de todos los $n \times n$ matriz con cero en el $(n,n)$ entrada.

Esta es otra prueba de que $H$ es una hipersuperficie sin utilizar el teorema de la función implícita. Esta demostración está en la línea de la geometría algebraica. Sea $P_{ij}(X)$ sea el menor de la matriz $X \in \mathbb{R}^{n^2}$ que se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ . Dejemos que $U_{ij} := \{ X \in \mathbb{R^{n^2}} : P_{ij}(X) \neq 0 \} $ . Observe que $H \subset \cup_{ij} U_{ij} $ . Ahora vamos a dar una parametrización de $H \cap U_{ij}$ expresando la entrada $x_{ij} $ de $X$ como función suave de las otras entradas. Por tanto, tomemos $X \in H \cap U_{ij}$ y observe que por la expansión de Laplace de $\det(X)$ a lo largo del $i$ fila nos dan: $$0 = \det(X) = x_{ij} (-1)^{i+j} P_{ij}(X) + E(X) $$ donde $E(X)$ es un polinomio en las entradas de $X$ que no contiene la entrada $x_{ij}$ . Así que $$x_{ij} = (-1)^{i+j+1} \frac{E(X)}{P_{ij}(X)} \, \, (*)$$ que muestra que en cada $H \cap U_{ij}$ está parametrizado por un mapa racional $$\psi_{ij} : GL(n-1, \mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}^{n-1} \to H$$ definida de la siguiente manera. La matriz $\psi_{i,j}(A,v,w)$ reconstruido a partir de $A$ para obtener todas las filas y columnas hasta las filas $i,j$ . la fila $i$ hasta la entrada $i,j$ es el vector $v$ y la columna $j$ es el vector $w$ . Entonces la entrada $x_{ij}$ viene dada por la fórmula anterior (*) utilizando $A,v,w$ . Ahora debe quedar claro que $H$ es efectivamente una hipersuperficie $\mathbb{R}^{n^2}$ .