¿Las transformaciones de Möbius son orientación conservadora?

Question

Esta pregunta es realmente estúpido, pero me está volviendo loco. Solo tengo un punto de vista fuera de ordenar lo que está pasando.

1. En mi libro de texto: "Mostrar que cada lineal fraccional (LF) transformación de la $\hat{\mathbb{C}}$ es la orientación de la preservación.

Esto es completamente desconcertante. $f(z) = \frac{1}{z}$ es, sin duda LF, pero es igual a $\frac{\overline{z}}{|z|^2}$. No puedo pensar en una más no de la orientación de la preservación de mapa de complejo conjugación seguido por descamación.

1. De La Wikipedia: el conjunto de LF transformaciones es isomorfo a la orientación de la preservación de isometrías de $\mathbb{H}^3$.

¿Cuál es el isomorfismo aquí, explícitamente? Darse cuenta de $\mathbb{H}^3$ como los de la mitad superior del espacio en $E^3$. No puede ser de Poincaré extensión, ya que se puede tomar sólo el mapa de $f$ desde arriba y se extienden para obtener la reflexión a través de una esfera, que no es la orientación de la preservación. Lo de la orientación de la preservación de mapa de $\mathbb{H}^3$ será la imagen de $f$?

Answer 1

Holomorphic funciones, incluyendo las transformaciones de Möbius, son localmente orientación de la preservación. Esto significa que un pequeño círculo $t\mapsto z_0+r e^{it}$ $\ (0\leq t\leq 2\pi)$ va hacia la izquierda alrededor de un punto de $z_0$ donde $f'(z_0)\ne0$ es asignado a una pequeña circlelike curva cerrada que va en sentido antihorario alrededor del punto de $f(z_0)$. Esto tiene que ver con el hecho de que el determinante Jacobiano en $z_0$ de la base del mapa real ${\bf f}:\ {\bf z}\to{\bf f}({\bf z})$ está dado por $|f'(z_0)|^2>0$.

Dibuja una figura y convencer a ti mismo de que esta propiedad se manifiesta también en el caso del mapa de $f:\ z\mapsto {1\over z}$ donde se define.