Lemma de Zorn y módulos inyectivos

Question

En mi estudio de los módulos inyectivos sobre anillos conmutativos, he observado que el lema de Zorn se emplea a menudo en las pruebas. He aquí tres ejemplos: 1) el criterio de Baer 2) la caracterización de los módulos inyectivos como aquellos que no tienen extensión esencial propia 3) el teorema de estructura que dice que todo módulo inyectivo es la suma directa de módulos inyectivos indecomponibles.

Pregunta: ¿Existe alguna razón profunda para la necesidad del Lemma de Zorn cuando se tratan módulos inyectivos? ¿Está relacionado de alguna manera con el hecho de que no existe un dual para la noción de módulo libre?

Answer 1

Si sólo reducimos a $\Bbb Z$ -entonces ya podemos identificar una conexión muy fuerte:

El axioma de elección es equivalente a la afirmación "Todos los grupos abelianos divisibles son inyectivos".

Además, existe un modelo en el que falla el axioma de elección y no hay grupos abelianos inyectivos, en absoluto, por lo que la equivalencia anterior falla de forma muy aguda.

Quizá le interese conocer algunos de los trabajos de Andreas Blass, que demostró los dos resultados mencionados. Puede consultar el artículo aquí:

Blass, Andreas " Inyectividad, proyectividad y el axioma de elección. " Transacciones de la Sociedad Matemática Americana Vol. 255 , (nov., 1979), pp. 31-59

Answer 2

Obsérvese que existe una versión del criterio de Baer que se cumple en ZF:

Si $M$ es algo $R$ -con la propiedad de que para cada ideal $I \subseteq R$ el mapa $\hom(R,M) \to \hom(I,M)$ es suryectiva, entonces para cada submódulo $A \subseteq B$ tal que $B/A$ está finitamente generada tenemos que $\hom(B,M) \to \hom(A,M)$ es suryectiva.

La prueba procede por inducción sobre un número de elementos de $B$ que lo generan modulo $A$ . En términos más generales, la prueba funciona cuando existe un grupo generador de $B/A$ que está indexado por un número ordinal. Para ello se necesita el lema de Zorn o algo parecido.