¿Por qué es $e^{\pi \sqrt{163}}$ casi un entero?

Question

El hecho de que Ramanujan Constante de $e^{\pi \sqrt{163}}$ es casi un entero ($262 537 412 640 768 743.99999999999925...$) no parece ser una coincidencia, pero tiene que ver con el $163$ que aparecen en ella. Puede usted explicar por qué es casi-pero-no-bastante entero en los términos del laico (yo no soy un matemático)?

Answer 1

Esto es todo un reto para expresar en "los términos del laico", pero la la razón es que $$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)$$ es un número entero donde $j$ es el $j$-función. Cuando usted sustituto $(1+\sqrt{-163})/2$ en la $q$-expansión (véase la página de la wikipedia) de $j$, todos los términos guardar los dos primeros son pequeños, y los dos primeros de la igualdad de $$-\exp(\pi\sqrt{163})+744.$$

La razón de que esto $j$-valor es un entero que es debido a la cuadrática campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$ tener clase número uno, o, equivalentemente, que todos positiva definida entero binario cuadráticas formas de discriminante $-163$ son equivalentes.

Agregó Voy a tratar de explicar la conexión con la formas cuadráticas binarias. Considere la posibilidad de una forma cuadrática $$Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$$ con $a$, $b$ y $c$ enteros. Sólo voy a considerar las formas $Q$ cuales son primitivo, por lo que $a$, $b$ y $c$ no tienen en común factor $> 1$, y positiva definida, que es $a > 0$ y el discriminante $D=b^2-4ac < 0$. Existe una noción de equivalencia de formas cuadráticas, y dos primitivo positiva formas definidas $Q$ $Q'(x,y)=a'x^2+b'xy+c'y^2$ (necesariamente también de discriminante $D$) son equivalentes si y sólo si $$j\left(\frac{b+\sqrt {D}}{2a}\right) =j\left(\frac{b'+\sqrt {D}}{2a'}\right).$$ Para cada una de las posibles discriminante hay sólo un número finito de equivalencia clases. Tenemos así un conjunto finito de $j$-valores para cada discriminante, y el gran teorema es que son las soluciones de un monic ecuación algebraica con coeficientes enteros. Cuando hay sólo una clase de la ecuación tiene la formulario de $x-k=0$ donde $x$ es un número entero, y el $j$-valor debe ser un entero.

Mi recomendado de referencia de esta es David Cox libro Los números primos de la forma $x^2+ny^2$. Pero estos resultados aparecen hacia el final de esta 350 páginas de su libro.

Answer 2

No creo que el "por qué" tiene una razonable laico de los términos de respuesta, pero déjame al menos explicar el "cómo" con un simple ejemplo de una coincidencia numérica. Si uno toma los poderes de la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no es difícil ver que están cerca de los números enteros. Por ejemplo, $\phi^{20} = 15126.999934...$. Uno se podría preguntar la misma pregunta acerca de por qué estos números están cerca de los números enteros. La respuesta es que

$$\phi^n + \varphi^n = L_n$$

donde $L_n$ $n^{th}$ Lucas número (un número entero), y donde $\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ tiene valor absoluto menos de $1$. Como $n$ se hace más grande, $\varphi^n$ se hace más pequeño, por lo $\phi^n$ se convierte en un mejor aproximación al número entero $L_n$.

Una similar, pero mucho más complicado, fenómeno que está sucediendo aquí. La razón por la $e^{\pi \sqrt{163}}$ está tan cerca de un entero es que, además de una pequeña término de error, da una fórmula especial para que entero. Pero el "por qué" de esta fórmula existe, es una historia larga y compleja (como Robin Chapman alude a) y creo que no hay forma razonable para hablar de ella en los términos del laico.