Probar lemas básicos sobre categorías con productos finitos y objetos terminales / iniciales.

Question

Yo esperaría que en cualquier categoría $\mathcal{C}$ con finito de productos y una terminal de objeto $1$, el isomorfismo $X \times 1 \cong X$ debe mantener, pero tengo un poco difícil a la hora de encontrar la prueba de ello.

En mi intento, yo uso el hecho de que hay flechas $1_X : X \rightarrow X$$\top_X : X \rightarrow 1$, a partir de la cual el universal propiedad de $X \times 1$ me da un único $u : X \rightarrow X \times 1$ tal que $\pi_1 \circ u = 1_X$ (e $\pi_2 \circ u = \top_X$). Esto me pone a mitad de camino, pero todavía tengo que probar que $u \circ \pi_1 = 1_{X \times 1}$ a demostrar que $u$ es de hecho una iso.

Me pueden obtener fácilmente que $\pi_1 \circ u \circ \pi_1 = \pi_1 = \pi_1 \circ 1_{X \times 1}$, así como y como yo lo veo, el problema puede reducirse a probar que $\pi_1$ es un mono.

Sin embargo, ¿cómo llegar? Esto es incluso comprobable, o necesito extra suposiciones acerca de $\mathcal{C}$? Si es demostrable, sería $X \times 0 \cong 0$ ser comprobable así (suponiendo inicial de los objetos)?

Gracias!

Answer 1

Para mostrar que$u \circ \pi_1 = id$ considera que$u \circ \pi_1$ es un morfismo de$X\times 1 \to X\times 1$ tal que$\pi_1 \circ u \circ \pi_1 = \pi_1$ y$\top_{X\times 1} = \top_{X\times 1} \circ u \circ \pi_1$. Dado que estas ecuaciones también se mantienen si reemplaza$u \circ \pi_1$ por$1_{X\times 1}$, obtiene por unicidad que$u \circ \pi_1 = 1_{X\times 1}$.

La propiedad$X \times 0 = 0$ no se mantiene en general. Considere la categoría de grupos, donde$1 = 0$, así que$X \times 1 = X$ y ya que hay grupos no triviales la propiedad claramente no se mantiene.

Sin embargo, la propiedad se mantiene si, por ejemplo, la categoría es cartesiana cerrada.

Answer 2

Mientras yo estaba escrito, una prueba que fue presentada. Así que me voy a presentar la siguiente no riguroso de la exposición, la cual se espera que sea bueno para algunos intuición.

Sí, esto es cierto. podemos ver desde bastante principios generales que debe ser cierto, sin trabajo fuera ninguno de los detalles: la identidad es un límite, y la terminal de objeto es un límite, y los productos son un límite. Y los límites de conmutar; es decir, no importa en qué orden se compute ellos, o si se compute en piezas o todos a la vez.

(Por cierto, voy a usar las $\bullet$ en lugar de $1$ -$1$ es una buena notación pero yo no quiero a confundirse con la identidad de morfismos)

Estás tratando de calcular el límite del diagrama de $X\to \bullet$ en dos formas diferentes. En primer lugar, por el simple hecho de $X$ a sí mismo como el diagrama de límite-no hay una única manera de agregar el mapa de a $\bullet$. Y segundo, por que comienzan con $\bullet$, entonces la adición de $X$ a su diagrama de límite. Estos deben dar la misma respuesta, si la categoría de la teoría es el derecho al trabajo.

Llegar un poco más técnico: Vamos a arreglar algunos $Y$ y la mirada en el conjunto de $\operatorname{Hom}(Y,X\times \bullet)$. Un mapa de un producto es la misma cosa que un par de mapas, y así un elemento de este conjunto es un mapa de $Y\to X$, y el mapa de $Y\to\bullet$. Pero éste es único-lo que nos han demostrado que $\operatorname{Hom}(Y,X\times \bullet)=\operatorname{Hom}(Y,X)$.

En realidad, esto ya es una prueba, si estamos cómodos con el Yoneda incrustación. Pero incluso si no, nos da unos cuantos consejos sobre cómo proceder, ya que nos da un buen diccionario entre los dos objetos.

Tomar la identidad de mapa de $1_X : X\to X$. Como hemos observado, este es un amigo de la $\psi: X\to X\times \bullet$, $\psi = id_X \times u_X$ donde $u_X : X\to \bullet$ es el único mapa. Es razonable conjeturar que es un isomorfismo. Y también es razonable conjeturar que el inverso es el único mapa, podemos pensar en la otra dirección, que es la proyección de la $\pi: X\times \bullet \to X$.