¿Por qué no es un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $X$ sea el espacio vectorial de todas las funciones continuas de valor complejo sobre $[0,1]$ . Entonces $X$ tiene un producto interno $$(f,g) = \int_0^1 f(t)\overline{g(t)} dt$$ para convertirlo en un espacio de producto interno. Pero esto no es un espacio de Hilbert.

¿Por qué no está completo? ¿Qué secuencia de Cauchy en ella no es convergente?

Gracias.

Answer 1

Consideremos la secuencia de funciones continuas $f_n$ definido por $$ f_n(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 &\mbox{ if $ x \in \Big [0, \frac {1}{2}- \frac {1}{n} \Big ] $} \\ \frac{nx}{2}-\frac{n}{4}+\frac{1}{2} &\mbox{ if $ x \in\Big [ \frac {1}{2}- \frac {1}{n}, \frac {1}{2}+ \frac {1}{n} \Big ] $}\\ 1 &\mbox{ if $ x \in\Big [ \frac {1}{2}+ \frac {1}{n},1 \Big ] $} \end{array} \right. $$

Dejemos que $f(x)=0$ si $x\in[0,\frac{1}{2}]$ y $f(x)=1$ si $x\in (\frac{1}{2},1]$ . Voy a demostrar que $f_n\rightarrow f$ en su norma. De hecho, tenemos \begin {eqnarray} \int_0 ^1|f_n-f|^2 &=& \int_ { \frac {1}{2}- \frac {1}{n}}^{ \frac {1}{2}+ \frac {1}{n}}( \frac {nx}{2}- \frac {n}{4}+ \frac {1}{2}-f)^2 \nonumber \\ &=& \int_ { \frac {1}{2}- \frac {1}{n}}^{ \frac {1}{2}} ( \frac {nx}{2}- \frac {n}{4}+ \frac {1}{2})^2+ \int_ { \frac {1}{2}}^{ \frac {1}{2}+ \frac {1}{n}}( \frac {nx}{2}- \frac {n}{4}- \frac {1}{2})^2 \nonumber \\ &=& \frac {1}{12n}+ \frac {7}{12n} \\ & \rightarrow & 0 \end {eqnarray}

Así que la secuencia $f_n$ converge a una función $f$ no continua.

Answer 2

Reemplazo $[0,1]$ por $I:=[-1,1]$ . Tenemos que producir una secuencia $f_n:\ I\to{\mathbb R}$ de funciones continuas que es una secuencia de Cauchy en $L^2(I)$ pero no converge en $L^2(I)$ a un $f\in X$ .

Poner $$f_n(t):=\cases{n t\quad &$ (|t| \leq {1 \over n}) $ \cr {\rm sgn}\ t & $ (|t| \geq {1 \over n}) $ \cr}\ .$$ Que un $\epsilon >0$ se le dará. Cuando $m$ , $n>\frac1\epsilon$ entonces $|f_m(t)-f_n(t)|\leq 1$ cuando $|t|\leq\epsilon$ y $=0$ cuando $|t|>\epsilon$ . Por lo tanto, $\|f_m-f_n\|^2\leq 2\epsilon$ lo que demuestra que $(f_n)_{n\geq1}$ es una secuencia de Cauchy en $L^2(I)$ . Por lo tanto, el $f_n$ convergen en $L^2(I)$ a un determinado $f\in L^2(I)$ .

Supongamos que este $f$ tiene un representante continuo, de nuevo denotado por $f$ y que $f(0)=:c\leq0$ . Entonces hay un $\epsilon_0>0$ con $$f(t)\leq{1\over 2}\qquad(0\leq t\leq\epsilon_0)\ .$$ Cuando $n>{2\over\epsilon_0}$ entonces $$f_n(t)=1\qquad({\epsilon_0\over2}\leq t\leq\epsilon_0)\ .$$ De ello se desprende que $|f_n(t)-f(t)|\geq{1\over2}$ en un intervalo de longitud ${\epsilon_0\over2}$ y esto implica $\|f_n-f\|^2\geq{\epsilon_0\over 8}$ para todos estos $n$ . Esto contradice el hecho ya establecido $\lim_{n\to\infty} f_n=f$ en $L^2(I)$ .

Answer 3

Dejemos que $$f_n(t) := \left(1-n \cdot dist\left(\{t\}, \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4} \right] \right) \right) \vee 0$$

Entonces $(f_n)_n$ es una secuencia de Cauchy,

$$f_n \to 1_{\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4} \right]} \notin C[0,1]$$