Ecuación de Schrödinger en representación de posición

Question

Partimos de un estado abstracto vector $ \newcommand{\cy}[1]{|{#1}\rangle} \cy{\Psi}$ como una descripción de un estado de un sistema y la ecuación de Schrödinger en el siguiente formulario $$ \DeclareMathOperator{\dif}{d \!} \newcommand{\ramuno}{\mathrm{i}} \newcommand{\exponente}{\mathrm{e}} \newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|} \newcommand{\braket}[2]{\langle{#1}|{#2}\rangle} \newcommand{\soporte}[3]{\langle{#1}|{#2}|{#3}\rangle} \newcommand{\linop}[1]{\hat{#1}} \newcommand{\dpd}[2]{\frac{\partial #1}{\parcial #2}} \newcommand{\dod}[2]{\frac{\dif{#1}}{\dif{#2}}} \ramuno \manejadores \dod{}{t} \cy{\Psi(t)} = \hat{H} \cy{\Psi(t)} \, . \quad (1) $$

Ahora bien, si nos movemos a la posición de la representación de el estado de vectores qué va a pasar a la ecuación de Schrödinger?

En las Matemáticas de la Mecánica Cuántica: Una introducción de la Encuesta de Operadores, Autovalores Y Lineal Espacios Vectoriales por John David Jackson, he encontrado la siguiente información (pp 77-78).

Tomando un producto interior de ambos lados de (1) con $\ket{x}$ y el uso de la resolución de la identidad $\linop{I} = \int\nolimits_{-\infty}^{+\infty} \ket{x'} \bra{x'} \dif{x'}$ en el lado derecho obtenemos $$ \ramuno \manejadores \dod{}{t} \braket{x}{\Psi(t)} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \soporte{ x }{ \linop{H} }{ x' } \braket{ x' }{ \Psi(t) } \dif{x'} \, . $$ A continuación presentamos una función de onda $\Psi(x,t) \equiv \braket{x}{\Psi(t)}$ y si he entendido bien $\bracket{ x }{ \linop{H} }{ x' }$ también es reemplazada por una función de $h(x, x')$, lo que nos llevará a $$ \ramuno \manejadores \dod{}{t} \Psi(x, t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(x, x') \Psi(x', t) \dif{x'} \, . $$ Ahora estamos a un paso de la conocida ecuación de Schrödinger en la posición de la representación: necesitamos Hamiltoniano del operador en la posición de la representación de $\linop{H}(x, \frac{\hbar}{\ramuno} \dod{}{x})$ a ser dada por $$ \linop{H}(x, \frac{\manejadores}{\ramuno} \dod{}{x}) \Psi(x, t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(x, x') \Psi(x', t) \dif{x'} \, . $$

Autor afirma (p. 44) que

Para nuestros propósitos, el general lineal operador $K$ puede ser escrita en la forma explícita $$ g = K f \rightarrow g(x) = \int\limits_{a}^{b} k(x,x') f(x') \dif{x'} \quad(2) $$ La función de $k(x,x')$ se llama el núcleo del operador $K$.

No es que no me fío de la autora, pero desde mi conocimiento de las matemáticas no es muy buena y nunca he visto algo como (2) antes, estoy confundido con esto "para nuestros propósitos".

¿Qué significa realmente? Es (2) cierto para cualquier operador lineal o de un determinado tipo de operadores lineales, dicen, para uno mismo-adjoint operadores lineales en espacios de Hilbert?

Answer 1

En primer lugar quisiera decir que creo que Tobias Kienzler ha hecho un gran trabajo de hablar de la intuición detrás de la cuestión en lo que va de finito a infinito de dimensiones.

Yo, en cambio, el intento de abordar el contenido matemático de Jackson declaraciones. Mi reclamo va a ser que

Si usted está trabajando en lo finito o infinito de dimensiones, escribir la ecuación de Schrödinger en una base específica sólo implica la realización de las definiciones.

Para ver esto con claridad, sin tener que preocuparse acerca de los posibles matemática sutilezas, vamos a considerar en primer lugar

De dimensión finita

En este caso, podemos estar seguros de que existe una orthnormal base $\{\ket{n}\}_{n=1, \dots N}$ para el espacio de Hilbert $\mathcal H$. Ahora para cualquier estado $|\psi(t)\rangle$ nos definir los llamados elementos de la matriz del estado y Hamiltoniana de la siguiente manera: \begin{align} \psi_n(t) = \langle n|\psi(t)\rangle, \qquad H_{mn} = \langle m|H|n\rangle \end{align} Ahora toma el producto interior de ambos lados de la ecuación de Schrödinger con $\langle m|$, y el uso de la linealidad del interior de productos y derivados de escribir \begin{align} \langle m|\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\frac{d}{dt}\langle m|\psi(t)\rangle=\frac{d\psi_m}{dt}(t) \end{align} El hecho de que nuestra base es ortonormales nos dice que tenemos la resolución de la identidad \begin{align} I = \sum_{m=1}^N|m\rangle\langle m| \end{align} Así que después de la toma del producto interior con $\langle m|$, la escritura lado de la ecuación de Schrödinger puede ser escrita de la siguiente manera: \begin{align} \langle m|H|\psi(t)\rangle = \sum_{m=1}^N\langle n|H|m\rangle\langle m|\psi(t)\rangle = \sum_{m=1}^N H_{nm}\psi_m(t) \end{align} La equiparación de poner todo esto junto le da la ecuación de Schrödinger en el$\{|n\rangle\}$; \begin{align} \frac{d\psi_n}{dt}(t) = \sum_{m=1}^NH_{nm}\psi_m(t) \end{align}

Dimensión infinita

Con un número infinito de dimensiones, podemos escribir la ecuación de Schrödinger en una discreta (contables) base para el espacio de Hilbert $\mathcal H$, que existe siempre por el camino desde la mecánica cuántica de Hilbert espacios poseen un contable, base ortonormales, o se puede elegir un continuo de "base" como la posición de "base" en el que escribir la ecuación. Me puse base en comillas de aquí, porque la posición del espacio wavefunctions en realidad no son elementos del espacio de Hilbert, ya que no son de cuadrado integrable funciones.

En el caso de una contables ortonormales base, el cálculo realizado anteriormente para la escritura de la Schodinger ecuación en la base de la siguiente manera a través precisamente de la misma manera con la sustitución de $N$ $\infty$ en todas partes.

En el caso de la "base" $\{|x\rangle\rangle_{x\in\mathbb R}$, el cálculo anterior lleva a través de casi exactamente de la misma manera (como su pregunta esencialmente muestra), a excepción de las definiciones que hemos hecho en el comienzo cambiar un poco. En particular, se definen las funciones de $\psi:\mathbb R^2\to\mathbb C$ $h:\mathbb R^2\to\mathbb C$ por \begin{align} \psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle, \qquad h(x,x') = \langle x|H|x'\rangle \end{align} A continuación, la posición del espacio de representación de la ecuación de Schrödinger de la siguiente manera tomando el producto interior de ambos lados de la ecuación con $\langle x|$ y el uso de la resolución de la identidad \begin{align} I = \int_{-\infty}^\infty dx'\, |x'\rangle\langle x'| \end{align} La única verdadera matemática sutilezas que usted tiene que preocuparse en este caso son exactamente qué tipo de objetos a los símbolos $|x\rangle$ representan (ya que no están en el espacio de Hilbert) y en qué sentido se puede escribir una resolución de la identidad de los objetos. Pero una vez que usted ha tomado el cuidado de estas cuestiones, la conversión de la ecuación de Schrödinger en su expresión en una "representación" es sólo una cuestión de hacer la correspondiente definiciones.

Answer 2

Creo que de un operador lineal como tomar el límite de un ser infinitamente grande de la matriz con discretos índices a un continuo con "índices" llamados coordenadas. $K$ denotar la Matriz, mientras que $k(x,x')$ es lo que uno escribe como $K_{x x'}$ para las matrices. Cuando se aplica el operador lineal a una función, es como multiplicar una matriz por un vector, sólo que en lugar de hacer un balance sobre el discreto segundo índice que ahora integrar sobre el continuo de la segunda coordenada, es decir,$\sum_{x'}K_{x x'}f_{x'} \to \int dx'\, k(x,x')f(x')$. Hay un poco más a él, por supuesto, debido a que va de $\{1,2,3,...,n\}$ través $\mathbb N$ $\mathbb R$"índice" implica algunos matemáticos desorden, pero en la mayoría de los casos sólo funciona bien sin ninguna consideración especial.