¿Cómo probar la figura ocho no es un múltiple?

Question

Posible duplicado:
Una suma en forma de cuña de círculos sin el punto de encolado no está conectada

Sé que la figura ocho no es un múltiple porque su centro no tiene un barrio homeomórfico a$\mathbb{R}^n$. Pero ¿cómo probar esto estrictamente?

Answer 1

Supongamos que hubo una vecindad$U$ del punto central$P$ que fue homeomorfa a$\mathbb{R}^n$. Considerar $U \setminus \{P\}$. ¿Cuántos componentes conectados tiene? ¿Cuántos componentes conectados hay en$\mathbb{R}^n \setminus \{\text{point}\}$? [Tenga cuidado de notar que la respuesta es diferente para$n=1$ que para$n > 1$, pero eso no causa ningún problema en última instancia.]