Probar la regla de cardinalidad$|A-B|=|B-A|\rightarrow|A|=|B|$

Question

Necesito probar esto$|A-B|=|B-A|\rightarrow|A|=|B|$ Me las arreglé para llegar a esto:

$f:A-B\to B-A$ Mientras que$f$ es bijective.

A continuación, defina$g\colon A\to B$ como sigue: $$ g (x) = \begin{cases} f(x)& x\in (A-B) \\ x& \text{otherwise} \\ \end {cases} $$

Pero no estoy logrando demostrar que esta función es sobrejectiva.

¿No lo es? O estoy en el camino correcto? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias

Answer 1

Tu intuición es correcta.

Primero probar que $g$ es inyectiva.

Supongamos $x,y\in A$$x\neq y$. Vamos a romper este en cuatro casos (dos similares):

1. Si $x\in B$ $y\notin B$ (o viceversa), $g(x)=x$ mientras $g(y)=f(y)\notin A$, por lo $g(x)\neq g(y)$.

2. Si $x,y\in B$ $f(x)\neq f(y)$ desde $f$ es inyectiva, y por lo tanto $g(x)\neq g(y)$.

3. Asimismo, para $x,y\notin B$,$g(x)=x\neq y=g(y)$.

Por lo tanto, $g$ es una función inyectiva.

Para mostrar $g$ es surjective, pick $x\in B$.

Cualquiera de las $x\in A$ y, por tanto, $g^{-1}(x)=x$ o $x\notin A$ y, por tanto, $f^{-1}(x)=a$ está definido; $a\in A\setminus B$; y $g(a)=f(a)=x$ según sea necesario.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$ \begin{align} |A| = |A \cap B| + |A \cap B^c| = |B \cap A| + |B \cap A^c| = |B|. \end {align} $$

Aquí$E^c$ denota el complemento del evento$E$ en el espacio universal$X$.