Desigualdad de Hölder de la desigualdad de Jensen

Question

Estoy tomando un curso de Análisis en el que se dio el siguiente ejercicio.

Ejercicio Sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio de probabilidad. Sea $f\ge 0$ una función medible.

1. Usando la desigualdad de Jensen, demuestra que para $1\le p < q$, $$\left(\int f^p\, d\mu\right)^{\frac{1}{p}}\le \left(\int f^q\, d\mu\right)^{\frac{1}{q}}.$$
2. Deduze la desigualdad de Hölder a partir de la desigualdad de Jensen y discute los casos de igualdad.

La primera parte es estándar y no tuve problemas con ella. Por el contrario, la segunda parte es un tanto confusa. La prueba estándar de la desigualdad de Hölder utiliza la desigualdad de Young que puede ser demostrada mediante la convexidad de la función exponencial. Así que, estrictamente hablando, esto es una forma de "deducir la desigualdad de Hölder a partir de Jensen", pero no creo que esto es lo que tenía en mente el examinador. Lo más probable es que se suponga que uno busque una prueba empleando la desigualdad de Jensen en $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, o tal vez aplicando directamente el primer punto. Pero no tengo idea de cómo hacer esto.

Gracias.

Answer 1

Como sugiere Mike, tome la medida $\nu:=\frac{g^q}{\int g^qd\mu}\cdot \mu$ (una medida de probabilidad) y $h:=\frac f{g^{q-1}}$. Entonces $$\int fgd\mu=\int hg^qd\mu=\int g^qd\mu\cdot\int hd\nu\leqslant \int g^qd\mu \left(\int h^pd\nu\right)^{1/p}=\left(\int g^qd\mu\right)^{1/q}\left(\int f^pd\mu\right)^{1/p}.$$